NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/05/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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NOMBRES CONSÉCUTIFS

Curiosités avec les chiffres consécutifs, comme:

12 = 3 x 4 (4 consécutifs)

12 = 3 + 4 + 5 (5 consécutifs)

Propriétés des nombres consécutifs, comme:

Le produit de 3 nombres consécutifs est divisible par 6, au moins

Le PGCD de deux nombres consécutifs est égal à 1
(aucun diviseur commun)

Deux nombres consécutifs (ou "jumeaux")
Deux nombres qui se suivent (n et n + 1).	(9, 10), (100, 101), (123456, 123457)
L'un d'eux est pair et l'autre impair. Le produit est divisible par 2.	9 x 10 = 90 = 2 x 45
Un des deux, au plus, est premier (sauf pour (2, 3)	( 9, 10) => deux composés (10, 11) => 11 est premier
La somme est impaire: S = 2n + 1 Si S est connu, on retrouve le nombre de tête: n = (S – 1) / 2	9 + 10 = 19 S = 101 => n = 100/2 = 50
Si la somme de deux nombres consécutifs (x – 3 et x – 4) vaut 13, quelle est la valeur de x	(x – 3) + (x – 4) = 13 2x = 20 x = 10
Le produit est pair: P = 2k (2k + 1) = 2 (2k² + k) Si P est connu, on retrouve les nombres en calculant la racine carrée: P = n² + n et en vérifiant la cohérence des unités.	P = 20 306 Racine: 142,5 Si 142 est bon, avec 143 le produit des unités convient. Solutions (142 et 143) ou (-142 et -143)
La somme de cinq nombres consécutifs est 50, quels sont ces nombres ?	Le choix de l'inconnu facilite le calcul: (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) = 5n = 50 Le nombre central est 10 Les nombres: 8, 9, 10, 11, 12
Est-ce que la somme de sept nombres consécutifs peut valoir 130 ?	(n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 7n Or, 130 n'est pas divisible par 7.

FLORILÈGE – Belles formules

1 + 2 = 3 : forme triviale. Voir Trois consécutifs.

Formes simples:

6	= 1 / 2 ( 3 x 4 )	4 consécutifs	Dans l'ordre
56	= 7 x 8	4 consécutifs

12	= 3 x 4	4 consécutifs
12	= 3 + 4 + 5	5 consécutifs	12 et son retourné en 6 consécutifs
21	= 6 + 7 + 8	5 différents

Suite régulière de nombres

Voir Nombres carrés

La somme de la suite ascendante descendante est égale

au carré du nombre le plus grand

Voir Nombres carrés / Application de cette propriété

Formes en puissance

3² + 4² = 5² 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 (1 + 2 + 3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 (1 + 2 + 3 + 4 )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3

= 25 = 216 = 36 = 100

Voir Triplets de Pythagore / Somme au carré égale cube

Sommes et différences

1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 …	= 2² – 1² = 3² – 2² = 4² – 3² = 5² – 4²
Somme de deux consécutifs	= Différence de leur carré

Impairs et puissances d'un nombre

1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 7 + 9 + 11 = 27 = 3^3

Sommes de 6 nombres impairs qui donnent les puissances du nombre 3

Et la perfection …

1 x 2 x 3 =	6	Nombre parfait
4 x 5 x 6 =	120	Nombre triparfait
7 x 8 x 9 =	504 = 220 + 284	Somme d'une paire amiable

Cubes consécutifs

1	=	1^3	=	1
8	=	2^3	=	3 + 5
27	=	3^3	=	7 + 9 + 11
64	=	4^3	=	13 + 15 + 17 + 19
125	=	5^3	=	21 + 23 + 25 + 27 + 29
216	=	6^3	=	31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
343	=	7^3	=	43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55
		…

Voir Cubes somme d'impairs

Cinq consécutifs

Trouvez cinq nombres consécutifs dont la somme est 100.

Formellement cette somme s'écrit:

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10

En formant l'égalité:

5 n + 10 = 100 et 5n = 90 soit n = 18

Voir Nombres triangulaires comme 1+2+3+4 = 10 / Partition avec des consécutifs

SOMMES SIMPLES

Motifs

12 =	3 + 4 + 5
	6 + 7 + 8	= 21

Autres, presque …

34	= 7 + 8 + 9 + 10	Somme de nombres consécutifs Chiffres différents
45	= 7 + 8 + 9 + 10 + 11	Somme de nombres consécutifs Chiffres non différents (le 1 est répété)

Ce genre de motifs trouvés pour 12 et 21 sont exceptionnels

Suite sans fin avec carrés

				1 +	2	=	3
			4 +	5 +	6	=	7	+ 8
		9 +	10 +	11+	12	=	13	+ 14	15
	16 +	17 +	18 +	19 +	20	=	21	+ 22	+ 23	+ 24
25 +	26 +	27 +	28 +	29 +	30	=	31 +	32 +	33 +	34 +	35
Etc.	Jusqu'à l'infini

À noter que le départ de chaque ligne est un carré, comme 25

Normal:

Deuxième ligne, en comparant les nombres de chaque côté de l'égalité:
de 5 à 7 il faut 2: de 6 à 8 il faut 2; soit un écart total de 2 x 2 = 2²

Troisième ligne: l'écart de 9 est obtenu avec trois fois une différence de 3 (10 à 13, 11 à 14 et 12 à 15)

Nous venons de constater une propriété commune à tous les carrés:

r² = n = – (n+1 + n+2 + … n+r) + (n+r+1 + n+r+2 + … n+r+r)

Exemples

5² = 25 = – (26 + 27 + 28 + 28 + 30) + (31 + 32 + 33 + 34 + 35)

PRODUITS SIMPLES

Huit chiffres consécutifs

12
	= 3 x 4
		56
			= 7 x 8

Motifs avec la suite des huit chiffres consécutifs.

Exploration

Division de consécutifs
Prouvez que:
Vraie pour n = 1 et 2.
Supposons que cette identité soit vraie pour n = k.
Ajoutons le terme suivant de chaque côté.
Le premier membre est égal au premier membre de notre égalité pour k+1.
Nous venons de montrer que la formule est vraie pour k+1 si elle est vraie pour k.	Par induction, la formule est vraie pour tout n.

Suite	Nombres consécutifs – Index Produit de consécutifs = carré ?
Voir	0,5 en chiffres 100 en chiffres Carré latin pannumérique Carré pannumérique Carrés et consécutifs Carrés Pannumériques Chiffres en miroir Concaténation et carrés Croix pannumérique Faire N avec k chiffres identiques Jeux (Index) Nombre têtu Nombres à motifs – Index Opérations – Glossaire Somme de 1 à 100 Sommes dans figures Soustraction Suite 0,1234…. Suite 1234... Suite 1234… Triangle
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