NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/03/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page Partie 1 >>> Impairs, carrés et cubes >>> Nombres impairs >>> Inverses des impairs alternés Partie 2 >>> Somme des impairs & carrés et cubes >>> Relations entre impairs, carrés et cubes Partie 3 >>> Cube somme d'impairs >>> Cube différence de carrés

ENTIERS IMPAIRS & CUBES

Tout cube est

la somme d'impairs consécutifs;

la différence de deux carrés.

Exemple de propriété

4³ = 64 = 13 + 15 + 17

10² – 6²

CUBE SOMME D'IMPAIRS
Approche avec un exemple Sur un exemple, nous allons chercher la formule qui permet de déterminer la plage (de I à J) des impairs successifs dont la somme vaut un cube.

Théorème

Le cube d'un nombre k est la somme des nombres impairs de k² - k + 1 à k² + k – 1

Les plages (I, J) pour les cubes de 1 à 20

k I = k² - k + 1 J = k² + k - 1

1 1 1

2 3 5

3 7 11

4 13 19

5 21 29

6 31 41

7 43 55

8 57 71

9 73 89

10 91 109

11 111 131

12 133 155

13 157 181

14 183 209

15 211 239

16 241 271

17 273 305

18 307 341

19 343 379

20 381 419

Lecture: 20³ = 381 + 383 + 385 + … 417 + 419

Voir Table

Autre relation entre cubes et impairs

Écrivons le cube de 4: 4 x 4 x 4, illustré par le cube fil de fer en vert sur l'illustration. C'est aussi la somme de quatre fois le carré de 4: 4^3 = 4x4 + 4x4 + 4x4 + 4x4 Ou pour obtenir le volume de parallélépipèdes: 4^3 = 1x4x4 + 1x4x4 + 1x4x4 + 1x4x4 Exprimons l'un des facteurs 4 avec des écarts en plus d'un côté et en mois de l'autre, de sorte que la somme soit nulle. 4^3 = 1x4x(4-3) + 1x4x(4-1) + 1x4x(4+1) + 1x4x(4+3) 4^3 = 1x4x1 + 1x4x3 + 1x4x5 + 1x4x7 Chaque parallélépipède représente une marche d'escalier dont la longueur est un nombre impair: 1, 3, 5 et 5. Autrement dit, un cube peut aussi s'exprimer par: 4^3 = 4 (1 + 3 + 5 + 7) = 4 + 12 + 20 + 28 Cette relation est générale: 5^3 = 5 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5 + 15 + 25 + 35 + 45

CUBE DIFFÉRENCE DE CARRÉS
Approche avec un exemple Sur un exemple, nous allons chercher la formule qui permet de déterminer les plages (H, I et J) des carrés dont la différence vaut un cube.

Théorème

Le cube d'un nombre k est la différence des carrés de ½ (k²+ k) et ½ (k²– k).

Valeurs pour les cubes de 1 à 20

Notez la construction:

Pour chaque ligne, on trouve donc le motif suivant:

20³ = 210² – 190² = (190 + 20)² – 190²

Littéralement: retrouver les nombres au carré à partir du cube de k

k³ = (n + k )² – n² = n² + 2nk + k² - n² = k (2n + k)

k² = 2n + k

n = ½ (k² - k)

Pour k = 20, on retrouve n = ½ (400 – 20) = 190

Voir Cube = Différence de carrés de nombres successifs

Retour	Somme des impairs (1/3) Somme des impairs (2/3)
Suite	Somme des carrés
Voir	Carrés Constantes Cubes Impairs et différence de carrés Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres géométriques Nombres pairs et impairs – Introduction Pairs et impairs Tautochronie Théorèmes
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