NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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DIFFÉRENCE des carrés

de deux nombres voisins

Cas où la différence des nombres est 1 ou 2 ou un écart donné

Comment trouver N avec n ou n avec N ?

NOMBRES CONSÉCUTIFS

Soit deux nombres consécutifs.

La différence de leur carré est un nombre impair.

Démonstration

N	= n² – (n – 1)² = n² – n² + 2n – 1 = 2n – 1
et, n	= (N + 1) / 2

NOMBRES IMPAIRS

Nombre impair

I	= 2n – 1
n	= (I + 1) / 2 = I/2 + 0,5

Un nombre impair peut toujours s'exprimer sous la forme de la différence des carrés de deux nombres consécutifs:
I =	n²	– (n – 1)²
	(I/2 + 0,5)²	– (I/2 – 0,5)²

Exemples

I	I / 2	n²	-	(n-1)²
3	1,5	2²	-	1²
5	2,5	3²	-	2²
7	3,5	4²	-	3²
111	55,5	56²	-	55²

NOMBRES PAIRS
Un nombre pair ne peut jamais s'exprimer sous la forme de la différence des carrés de deux nombres consécutifs.

NOMBRES AVEC ÉCART DE 2

Deux nombres:	n et m = n-2
leur somme	s = 2n - 2
Leur différence	e = 2
La différence de leur carré:
N = n² - m²	= (n + m) (n - m) = s . e
	= (2n - 2) 2
N = n² - m²	= 4 (n - 1)
n	= N/4 + 1

Conséquence

Un nombre divisible par 4 est la différence des carrés de deux nombres écartés de 2
N =	n²	- (n-2)²
	4	(n - 1)

Exemples

n² - m²	=	4	x	n-1	=	N
3² - 1²	=	4	x	2	=	8
4² - 2²	=	4	x	3	=	12
5² - 3²	=	4	x	4	=	16
10² - 8²	=	4	x	9	=	36
11² - 9²	=	4	x	10	=	40
112² - 110²	=	4	x	111	=	444

Procédé connaissant N

Un nombre	N =	4000
divisible par 4	N/4 =	1000
Premier nombre	n = N/4 + 1 =	1001
Deuxième nombre	m = N/4 - 1 =	999
Différence de carrés	N = n² - m² =	4000 = 1001² - 999²

NOMBRES AVEC ÉCART DE 3

Deux nombres:	n et m = n-3
leur somme	s = 2n - 3
Leur différence	e = 3
La différence de leur carré:
N = n² - m²	= (n + m) (n - m) = s . e
	= (2n - 3) 3
N = n² - m²	= 3 (2n - 3)
n	= ( N/3 + 3) / 2

Conséquence

Un nombre divisible par 3 peut être la différence des carrés de deux nombres écartés de 3:
N =	n²	- (n-3)²
	3	(2n - 3)

Exemples

n² - m²	=	3	x	2n-3	=	N
4² - 1²	=	3	x	5	=	15
5² - 2²	=	3	x	7	=	21
6² - 3²	=	3	x	9	=	27
11² - 8²	=	3	x	19	=	57
12² - 9²	=	3	x	21	=	63
113² - 110²	=	3	x	223	=	669

Procédé connaissant N

Un nombre	N =	3003
divisible par 3	3 q =	3 x 1001
Premier nombre Ce nombre doit être un entier	n = (q + 3) / 2 =	(1001+3) / 2 = 1004 / 2 = 502
Deuxième nombre	m = q - 3 =	499
Différence de carrés	N = n² - m² =	3003 = 502² - 499²

Autre exemple

Un nombre	N =	3000
divisible par 3	3 q =	3 x 1000
Premier nombre Ce nombre doit être un entier	n = (q + 3) / 2 =	(1000+3) / 2 = 1003 / 2 = 501,5
3000 n'est pas différence des carrés de 2 nombres écartés de 3

NOMBRES AVEC ÉCART DE e ("e" comme écart)

Deux nombres:	n et m = n – e
leur somme	s = 2n – e
Leur différence	e = e
La différence de leur carré:
N = n² – m²	= (n + m) (n – m) = s . e
	= (2n - e) e
N = n² – m²	= e (2n – e)
n	= N/2e + e/2

Conséquence

Un nombre divisible par e peut être la différence des carrés de deux nombres écartés de e
N =	n²	– (n – e)²
	e	(2n – e)

Exemples

n² - m²	=	e	x	2n-e	=	N
6² - 1²	=	5	x	7	=	35
12² - 2²	=	10	x	14	=	140
1000² - 100²	=	1100	x	900	=	990000
999² - 99²	=	900	x	1098	=	988200

Suite	Soit un nombre N: trouvez comment l'exprimer sous la forme de différence de 2 carrés Table des différences de carrés de 1 à 100 Écart entre carrés de nombres consécutifs S'y retrouver
Voir	Addition – Glossaire Addition des carrés Addition des entiers Addition des puissances Carrés magiques Conjecture de Goldbach Identités remarquables Impairs Machine des frères Carissan Nombres consécutifs Palindromes Repdigit Répétition de motifs TABLES – Index
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