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DIFFÉRENCE des carrés de deux nombres On donne N. L'exprimer sous la forme d'une
différence de deux carrés. Pas toujours
possible! N = n² – m² Valeurs de n et m
? Construction de
chaines infinies de triplets de Pythagore. |
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Selon
la valeur de e
3²
– 2² = 5 Notez que, de ce
fait, n² – m² = 1 est impossible (sauf
1² – 0²) De même avec 2:
si e = 1 la somme est égale à 2 ; impossible. Et, si e = 2 la
somme vaut 1: impossible
Voir conclusions
plus précises en Bilan Calcul
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De 0 à 10 toutes les possibilités s.e En jaune pale les nombres différences de carrés,
en jaune foncé, double possibilité. |
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Illustration: structure des différences de carrés donnant les nombres
successifs
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Toutes les différences jusqu'à n =
50 Exemple de lecture: 48 = 43
– 42 = 26 – 24 |
Record de quantité de différences
pour un même nombre Aucun k = 5
jusqu'à n = 10 000, a = k = h = 100. |
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Voir Table complète / Table des différences
de puissances à écart minimum
Dans le DicoNombre voir: Nombre
6 / Nombre
240 / Nombre
3 840
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Procédé
Autre
exemple
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Recherche
des diviseurs et sommes paires
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Recherche
des diviseurs et sommes paires
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Voyons
les cas où la mise sous forme de différences de carrés est impossible
Les
nombres en
2 (2k + 1) Ce sont les nombres pairs qui divisé
par 2 donnent un nombre impair (dits
pairs-impairs). Ce sont les nombres
en progression arithmétique de raison 4 à partir de 2. 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 … Voir la table des nombres de 1 à 100 et leurs expressions en différences de carrés |
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Prenons
le nombre 3 et son carré On
continue avec 5 et son carré Il est
possible de poursuivre sans fin |
9 = 5 + 4 = 5² – 4² 25 = 13 + 12 = 13² – 12² 169 = 85 + 4 = 85² – 84² |
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Il est
possible de constituer une chaine infinie pour tout nombre impair. Les premiers nombres pour les premières chaines [3, 5, 13, 85, 3613, 6526885] [5, 13, 85, 3613, 6526885, 21300113901613] [7, 25, 313, 48985, 1199765113, 719718163185951385] [9, 41, 841, 353641, 62530978441, 1955061632394403395241] [11, 61, 1861, 1731661, 1499324909461, 1123987592065117923655261] [13, 85, 3613, 6526885, 21300113901613, 226847426110843688722000885] [15, 113, 6385, 20384113,
207756031398385, 21581284291203366989290304113] Ex:
113² – 112² = 15² Même liste mais avec les carrés [3, 25, 169, 7225, 13053769,
42600227803225] [5, 169, 7225, 13053769,
42600227803225, 453694852221687377444001769] [7, 625, 97969, 2399530225,
1439436326371902769, 517994234419759747473589427583418225] [9, 1681, 707281,
125061956881, 3910123264788806790481,
3822265986460669315287975024801628461448081] [11, 3721, 3463321,
2998649818921, 2247975184130235847310521,
1263348107116341940414873643024196400115172978121] [13, 7225, 13053769,
42600227803225, 453694852221687377444001769,
51459754733114686962148583993443846186613037940783225] [15, 12769, 40768225,
415512062796769, 43162568582406733978580608225,
465751831657741214303598968917332180433794527992024716769] |
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