NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire

 

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Sommaire de cette page

>>> Rappels de cours

>>> Calcul de PGCD

>>> Divisibilité par 9

>>> Divisibilité par 37

>>> Divisibilité N = n5 – n par 30

>>> Divisibilité de N = 7n – 2n par 5

 

 

 

 

DIVISION en Terminale

 

On la connaît bien, sinon se reporter à la page débutant.

Voir division pour une théorie plus complète.

Cette page est spécialement adaptée au niveau requis en terminale spécialité maths.

 

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

 

Division de a par b

a divise b

Valeur absolue de a

PGCD de (a, b)

PPCM de (a, b)

a / b

ab

a

(a, b)

[a, b]

Voir Division – Approche

 

 

 

 

  I) Rappels de cours

 

Divisibilité

 

 

 

PGCD et PPCM

 

 

 

II) PGCD et PPCM

 

Illustration – Exemple avec 12 et 10

 

 

 

 

Méthode

 

 

 

Exercice

 

Calcul de PGCD - 

 

Calculez le PGCD et le PPCM de (58 520, 5 460).

Utilisez l'algorithme d'Euclide.

 

À chaque étape (i), A prend la valeur de B; B est le reste de la division A/B.

 

Le tableau ci-contre est pratique. La colonne de droite donne Q le quotient de A par B. De sorte que le reste à placer dans la colonne B est égal à A – QB.

 

Cette disposition peut très facilement s'implémenter sur un tableur.

 

Anglais: GCD: greatest common divisor and LCM: least common multiple

 

 

 

III) DIVISIBILITÉ

 

Divisibilité par 9

Division des puissances de 10 par 9:

Nombre quelconque explicité:

N = …+ 1 000 m + 100c + 10d + u

2367

Congruence (37):

N  …+ m + c + d + u

2 + 3 + 6 + 7 = 18

Divisibilité:

N divisible par 9

si … + m + c + d + u l'est.

18 est divisible par 9

2367 l'est également.

Vous remarquerez que, en passant dans le monde des congruences, on peut remplacer les nombres par leur valeur congrue de même modulo:

1000 x m  1 x m = m  (9).

On lit: mille fois m est congru à 1 fois m, soit m, modulo 9.

Voir Divisibilité par 9 / Preuve par 9 / DicoNombre 9

 

 

Divisibilité par 37

Division de 10n par 37:

Nombre quelconque (3 chiffres):

N = 1 000 m + u

1000 x 456 + 765

Congruence (37):

N   1 x m + u

1 x 456 + 765 = 1 221

Divisibilité:

N divisible par 37

si m + u l'est.

1 221 = 33 x 37

Voir Divisibilité par 37 / DicoNombre 37

 

 

Divisibilité de N = n5 - n par 30

Pour  n = 0 et n = 1

n5 – n  = 0 – 0 = 0

n5 – n  = 1 – 1 = 0

 

Pour n > 1

En développant avec les identités remarquables, cette expression se présente comme au moins le produit de trois nombres consécutifs.

 

n5 – n  = n (n41 )

            = n (n² – 1) (n² + 1)

            = n (n – 1) (n + 1) (n² + 1)

            = (n – 1) n (n + 1) (n² + 1)

 

Parmi trois nombres consécutifs, au moins un est pair et un autre est divisible par 3. Les nombres 2 et 3 étant premiers entre eux, le produit est divisible par leur produit.

 

(n – 1) n (n + 1)   2 x 3 = 6

Divisibilité par 5? Le reste de la division par 5 peut prendre toutes les valeurs de 0 à 5. Voyons chaque cas.

n = 5k  N div. par 5

Restes 1 ou 4, ce dernier étant équivalent à un reste de -1.

 

n = 5k + 1 n – 1 div. par 5   N div. par 5

n = 5k + 4 n + 1 div. par 5   N div. par 5

 

Restes 2 ou 3.

On fait intervenir n² + 1 dans le développement de N.

 

n = 5k + 2  n² + 1  = (5k + 2)² + 1

    = 25k² + 20k + 4 + 1

    =5 (5k² + 4k + 1)  div. par 5   N div. par 5

 

Même type de calcul

n = 5k + 3 n² – 1 div. par 5   N div. par 5

 

 

Dans tous les cas N est divisible par 5

Il est aussi divisible par 6 qui est premier avec 5.

 

30   n5 – n 

Voir Divisibilité de n5 – n / DicoNombre 30

 

 

Divisibilité de N = 7n – 2n par 5

Démonstration de cette propriété par récurrence

Initialisation

Pour n = 0, N est divisible par 0

N0 = 70 – 20 = 1 – 1 = 0

Hérédité

On suppose la propriété vraie pour un certain rang n = k

Nk = 7k – 2k  est divisible par 5 (hypothèse)

     = 5a

Au rang k + 1

Nk+1 = 7k+1 – 2k+1

        =  7 x 7k – 2 x 2k 

        =  (5 + 2) x 7k – 2 x 2k 

        =  5 x 7k +  2 x 7k  – 2 x 2k 

        =  2 (7k – 2k) + 5 x 7k

En remplaçant

Nk+1 =  2 x 5a + 5 x 7k

        = 5 (2a + 7k)

Nous sommes en présence de nombres entiers. Nk+1 est divisible par 5

La propriété est vraie au rang k + 1 si elle est vraie au rang k: elle est héréditaire.

Bilan

La proposition est héréditaire, or elle est vraie pour n = 0

La proposition est vraie quelle que soit la valeur de n.

Voir Divisibilité de anbn  / DicoNombre 5

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Application (PGCD, algorithme d'Euclide)

*         Nombres premiers entre eux (ou étrangers)

Autour

*         La division en pratique c'est quoi?Débutant

*         La division en résumé c'est quoi?Glossaire

*         Divisibilité par un nombre donné

*         Sujets du bacIndex

Voir

*         Cryptage

*         Des jeux sur les partages

*         Jeux et puzzlesIndex

*         L'arithmétique de l'horloger – Congruence / Modulo

*         Le calcul mental

*         Théorie des nombresIndex

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