NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Sommaire de cette page

>>> Rappel du cours

>>> Résoudre une équation en x et y

>>> Déterminer que n est premier: 2n - 1

>>> Déterminer que n est premier: (/ 2

 

 

 

 

Nombres premiers entre eux

ou Nombres étrangers

 

On la connaît bien les nombres premiers, divisible par 1 par eux-mêmes.

Que dire de deux nombres? S'il ne partage aucun niveau de divisibilité, ils sont des étrangers ou premiers entre eux. Autrement-dit, ils n'ont aucun diviseur commun; leur PGCD est égal à 1.

 

Les nombres premiers sont étrangers. Ex: 5 et 7.

Mais pas seulement: Ex 6 et 35, deux nombres composés et pourtant étrangers.

 

 

 

  I) Rappels de cours

 

Nombres premiers entre eux (PEE)

 

 

 

Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique

 

 

 

 

  II) EXERCICES – Identité de Bézout

 

 

Résoudre une équation en x et y

Résoudre l'équation:

7x + 11y = 2

Sachant que nous connaissons une solution particulière:

x = 5 et y = –3

75 – 311 = 35 – 33 = 2

En égalant les équations littérale et numérique:

7x + 11y = 75 – 113

7 (x – 5) = – 11 (y + 3)

Théorème de Gauss, sachant que 7 et 11 sont premiers entre eux:

  7  (y + 3)

11  (x – 5)

Divisibilité explicité:

y + 3 = 7 k

y = 7k – 3

Calcul de x

7 (x – 5) = – 11 (7k – 3  + 3) = – 77 k

     x – 5  = 11 k

     x = 11k + 5

Solutions

x = 11k + 5

y = 7k – 3

 

 

  III) EXERCICES – Primalité

 

 

Déterminer que n est premier

Si cette expression est première,

en déduire que n est premier.

Supposons que n soit composé:

n = p . q     (1<q<n)

Remplaçons et développons:

Si An est premier,

alors l'un des facteurs vaut 1

Si q = 1, avec le premier facteur:

2q - 1 = 1  q = 1  n est premier

Si p = 1, avec le second facteur:

2q((p-1) + … = 20 = 1 n est premier

Donc si An est premier

Alors n l'est aussi. . 

 

 

Déterminer que n est premier (bis)

Si cette expression est première,

en déduire que n est premier.

Supposons que n soit composé:

n = p . q

Remplaçons:

Petit artifice! Fraction égale à 1.

Arrangement souhaité.

Notez que si p = 1 ou q = 1, l'un des termes se simplifie en 1.

Que vaut chaque facteur?

N est le résultat d'une progression géométrique de raison 3, de 1 à q.

1.   C'est un nombre entier.

M est aussi une progression géométrique de raison 3q.

C'est un nombre entier.

Or An est un nombre premier, l'un de ses facteurs est égal à 1.

Selon la remarque ci-dessus:

p ou q = 1

Conclusion pour n = p . q

n est également premier. 

Attention la réciproque n'est pas vraie.

Remarquez que nous n'avons utilisé aucune propriété relative au nombre 3.

.

 

 

 

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Suite

*         Nombres premiers entre eux – Développements

Autour

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*         Jeux et puzzles – Index

*         L'arithmétique de l'horloger

*         Le calcul mental

*         Théorie des nombres – Index

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