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Édition du: 03/11/2024 M'écrire Brèves de Maths

DicoNombre Débutant Glossaire Types de nombres Nom des nombres Écriture des nombres Table des facteurs Langues	Dictionnaire des Nombres
	… / 0,001 / 0,1		0 à 99			100 / 200 / 300 / 400 / 500 / 600 / 700 / 800 / 900 / 1 000 / 2 000 / 5 000 / 10 000 / 100 000 / 10^6 / 10^9 / 10^100 / Infini
	-0-	10		20	30		40	50	60	70	80	90
	-0-	-1-		-2-	-3-		-4-	-5-	-6-	-7-	-8-	-9-

Nombre 9	Culture	Maths 9	Multiplication	Expressions en 9
Débutant 9	Culture (suite)	9, …	Divisibilité par 9	Proverbes avec 9
Quizz 9	Division par 9	Preuve par 9	Magie du 9	Horloge maths
	Multi-puissance 9	Max avec trois 9

Neuf

Nine

Nouvelle orthographe

avec des traits d'union partout

Facteurs
Binaire	1001
Bases	118
Romain	IX

Suite

8 et 9 sont les seuls nombres puissants consécutifs. Conjecture de Catalan 

Propriété majeure

Le nombre 9 (qui est aussi un chiffre) est remarquable par ses nombreuses propriétés face à la divisibilité.

La somme des chiffres d'un nombre divisible par 9 est également divisible par 9 >>>

Sum of all digits of a number divisible by 9 is also divisible by 9.

Voir Partitions

2-rond

Auto-nombre

Brillant

Chanceux

Chanceux d'Ulam

Composé (le plus petit impair)

Composé inévitable (ou minimal)

Cullen (2×2² + 1)

Cunningham (2³ + 1)

Curzon

Déficient

Dissécable

Docile (amenable)

Factorielle (sous-factorielle)

Idonéal

Impair
Plus petit nombre impair composé.

Interpremier (7, 9, 11)

Kaprekar

Motzkin (4^e)

Padovan

Proth

Puissant

Queneau

Ramsey (3,4)

Refactorisable ou tau

Refactorisable (consécutif à 8)

Ruth-Aaron avec 8

Semi-premier

Totient parfait

Van der Waerden

Zuckerman

Géométrique

Carré

Cubique centré

Ennéagonal (2^e)

Maison

Octogonal centré (2^e)

Préfixes diviseurs et multiplicateurs:

10^-9 nano

10 ⁹ giga
(milliard)

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

Rappel Propriétés générales >>>

Quoi de neuf, docteur?

Célèbre jeu qui consiste à reconstituer les nombres avec k fois le même chiffre

Ici, les nombres de 1 à 12 avec trois 9 au maximum

Voir Horloge / Horloges avec indications mathématiques

Nombre moins la somme des chiffres = 9

Voir Propriété générale / Magie du 9

Une jeune poulette rentrant de l'école, annonce son exploit de la journée: Maman, j'ai eu un 9.

Un boxeur insomniaque cherche une solution, sinon il perd ses matches. Pas de chimie sinon dopage ! Alors son médecin lui conseille sagement de faire comme autrefois: compter les moutons. Une semaine se passe et il est à nouveau chez le médecin: - Docteur, il va falloir trouver autre chose. Les moutons, ce n’est pas possible: à chaque fois que j’arrive à 9, je me relève…

Voir Pensées & humour

Numération – Chiffres – Dénombrement

Voir Notion de chiffres / Zéro

9	N'est repdigit dans aucune base. Il n'est pas brésilien.
9	Tout nombre est au plus la somme de neuf cubes.
			Sous factorielle de 4. Quantité de dérangements de quatre objets: permutations pour lesquelles aucun objet ne reste en sa position originale.
9 = (2 x 2 – 1) (2² – 2 + 1) = 8 x 1 + 1		Nombre cubique centré. Nombre octogonal centré.
9 = 2 x 2^2 + 1		Nombre de Cullen.
xy + x + y ne donne jamais 9		Auto-nombre
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 9 divise 123456789 9 divise 987654321 9 divise 135792468, etc.		Un nombre formé par une permutation quelconque de ces neuf chiffres est toujours divisible par 9. La somme des chiffres et, en effet, toujours 45, divisible par 9.
9, 19, 9, 52 Cycle: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1		Le cycle de Syracuse de 9 comporte 19 étapes, un record. Il atteint une altitude maximale avec 52 au rang 9.

Addition – Partition

Diagramme de Ferrers du nombre 9

Voir Diagramme de Ferrers

9 = 4 + 5 = 3 + 6 = 2 + 7 = 1 + 8 = 3 + 3 + 3 = …	30 partitions du nombre 9.
9 + 9 = 18 9 x 9 = 81	La multiplication retourne l'addition, mais les résultats sont toujours en neuf (1+8 = 8+1 = 9). Motif unique avec 9.
9 = 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3	Motif avec somme et produit.
9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3²	Deux sommes de nombres consécutifs. Somme d'entiers consécutifs = carré.
9 = 4 + 5 et 4 x 5 = 20	La bipartition qui donne el plus grand produit.
9 = 5 + 4 = 3 x 3	Somme de consécutifs, égale à un multiple du précédent.
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4	Trois seules sommes de chiffres différents donnant 9. Avec les permutations, il y en a 18.
9 + 10 + 11+ 12 = 13 + 14 + 15	Somme de nombres consécutifs. Propriété de tous les carrés.
9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3	Plus petit nombre deux fois somme de trois nombres premiers.
9 = T2 + T3 = 3 + 6 = n² + 2n + 1 pour n = 2	Somme de deux nombres triangulaires. Comme tous les carrés

Multiplication – Division

Table de multiplication du 9

Voir Table complète

Voir Toutes les ASTUCES et CURIOSITÉS de la multiplication par 9 et par 9…9

Multiplication transformée en soustraction

Décalage de k crans car présence de k fois le 9

09 18 27 36 45

54 63 72 81 90

Table de multiplication par neuf. La table de multiplication du neuf est palindromique. Elle est très simple à mémoriser.

Rappel: 9 x 9 = 8 x 10 + 1 = 81

1233 => 1+2+3+3 = 9

1233 = 9 x 137 (exemple)

Un nombre est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est divisible par 9.

Preuve par neuf.

23 x 9 = 207 & 2 + 0 + 7 = 9 (exemple)

La somme des chiffres d'un produit par 9 est divisible par 9.

(abc – bca) / k

321 – 123 = 198 = 9 x 22 (exemple)

9 x 5 = 45 & 45 + 54 = 99 (exemple)

Un nombre soustrait de son retourné donne toujours un multiple de 9.

Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99.

9 = (2+2) + (2-2) + (2x2) + (2/2)

Somme des quatre opérations.

d9 = d + 9 + 9d

49 = 4 + 9 + 4 x 9 = 13 + 36

Nombres à deux chiffres terminés par 9 = somme des chiffres + produit des chiffres.

Carré = cette relation entre factorielles successives.

9 = n.m / (n + m)

Pour trois couples de nombres seulement.

9 = 27 / 3

Avec 27 = somme des facteurs les plus grands jusqu'à 9.

1 / 9 = 0,111…

2 / 9 = 0,222…

3 / 9 = 0,333…

4 / 9 = 0,444…

5 / 9 = 0,555…

6 / 9 = 0,666…

7 / 9 = 0,777…

8 / 9 = 0,888…

9 / 9 = 1

Les nombres entiers divisés par 9 produisent une de ces décimales répétitives. Période 1.
Tous les chiffres en séquence.

a/9 = 0,aaa…

ab/99 = 0,ababab…

Division par 9 et nombres périodiques.
Voir pourquoi les divisions par 9, 99, 999 … engendrent des nombres périodiques.

Un nombre de un chiffre divisé par 9 produit ce chiffre répété indéfiniment.

On montre cette propriété en utilisant cette relation:

On poursuit en appliquant la même procédure à 1/90.

Division par les nombres en 99…9.

Sommes infinies de puissances.

Voir Calcul du développement décimal

Le plus petit nombre déficient terminé par 9.

Quantité de diviseurs de 36.

7, [9, 12]

9 = 3² et 10 = 2x5 => 10 – 3 = 7

Plus petit nombre tel que son radical (3) est égal au radical du suivant (10) moins 7.

Seul 12 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 10⁹).

Relation croisée entre la somme des diviseurs et le totient.
Idem pour: 9, 225, 242, 516, 729, 3872, …

9

Il existe 9 polynômes unitaires de degré 2 à coefficients entiers dont les racines sont dans le disque unité. Ex: z² + 1 ou z² – 1.

8^n – 7^n + 6^n – 5^n + 4^n – 3^n + 2^n – 1^n	Divisible par 9 pour les puissances paires.
5^2 – 4^2 = 9 5^4 – 4^4 = 369	Motif divisible par 9 pour les puissances paires.
9 = 144 / 16 = 46 368 / 5 152	Un Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs.
9 (n – 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 9 x 4 2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99 = 9 x 11 (exemples)	La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9. Rappel La barre verticale se lit "divise".
9 somme des chiffres …	La somme des chiffres d'une puissance d'un multiple de 3 est divisible par 9
9 divise n^3 ou produit un reste de -1 ou 1	Un nombre au cube est congruent à -1, 0 ou 1 mod 9. Autrement dit: un cube est égal à un multiple de 9 ou voisin d'un multiple de 9.

Avec des puissances

Sommes identiques des chiffres des puissances

9 = 9	9	9^5 = 59049	5+9+0+4+9 = 27
9^2 = 81	8+1 = 9	9^8 = 43 046 721	4+3+0+4+6+7+2+1 = 27
9^3 =729	7+2+9 = 18	9^7 =4 782 969	4+7+8+2+9+6+9 = 45
9^4 = 6 561	6+5+6+1 = 18	9^9 = 387 420 489	3+8+7+4+2+0+4+8+9 = 45
9^6 = 531 441	5+3+1+4+4+1 = 18	9^10 =3 486 784 401	3+4+8+6+7+8+4+4+0+1 = 45

Voir Tables de telles relations

n² = ….x9	Un carré ne comporte jamais plus d'un seul 9 final (jamais …99). C'est vrai pour tous les autres chiffres sauf 00 et 44.
9 = 3² = 2^3 + 1^3	Seule puissance qui en précède immédiatement une autre. Solution de x^3 + y^3 = z^2. Seul nombre carré composé des chiffres 7, 8 et 9, au moins jusqu'à 10^7. En tolérant le 6, on a par exemple: 26² = 676, 83² = 6889 …
			Trouvé par H. Dudeney.
9 = 3² = 2² + 2² + 1² 2² = 4 = 1² + 1² + 1² + 1² 4² = 16 = 2² + 2² + 2² + 2²		Premier nombre somme deux fois de carrés répétés deux fois au maximum. Mais le seul carré qui n'est pas somme de quatre carrés.
9 = 1^3 + 2^3 = 3 x 3		La somme de deux cubes est divisible par la somme des nombres (1 + 2 = 3). Coquetterie avec l'autre diviseur identique. Cas unique avec 2^3+2^3 = 16 = 4 x 4.
9 = 3² = 1 + 3 + 5		Nombre n à la puissance n-1. Le carré de n est la somme des n premiers impairs. Cube = Somme de nombres impairs consécutifs. Propriété générale des cubes.
9 = 5 + 4 = 5² – 4²		Motif valable pour tout nombre impair.
9 = 5² – 4² = 3² = 3² x 1²		Nombre complètement carré.
29² = (30 – 1)² = 900 – 60 + 1 = 841 (exemple)		Calcul mental des carrés en …9 >>> Calcul mental des carrés en 9… >>>
… 9 = n²		Un carré n'est jamais terminé par plus d'un seul 9.
9 = 3² = 3² = 2^3 + 1 = 1^3 + 2^3 = (1 + 2)²		Nombre carré (3^e). Seul carré somme de deux cubes consécutifs. Voir Carré et somme de cubes Voir Carré d'un nombre triangulaire égal somme de cubes Somme de cubes de nombres successifs.
9 = 3² = 5² – 4²		Différence des carrés de deux nombres consécutifs: 4 et 5 dont la somme est égale au nombre: 9. Propriété générale des nombres impairs. Triplet de Pythagore.
9 = 1² + 2 x 2² = 1^3 + 1 x 2^3 = 2^2 + 5 x 1^2		Autour des triplets de Pythagore. Carrés et autres puissances.
9 = 10 – 1² – 0² = 11 – 1² – 1² = 34 – 3² – 4² = 74 – 7² – 4² = 90 – 9² – 0² = 91 – 9² – 1²		Ce motif existe 6 fois avec 9. C'est le record. Voir Curiosité

8 = 2^3 & 9 = 3^2 9 = 3² = 2^3 – 1		Propriété générale des carrés. 8 et 9 sont les seules puissances consécutives. Conjecture de Catalan
9 = (0)^3 + 1^3 + 2^3 = 217^3 + (–52)^3 + (–216)^3 = 2097^3 + 11305^3 + (–11329)^3 = …		Partition du nombre 9 en sommes de cubes.
9 = 1^3 + 2^3 = 3 x 3		Somme de puissance de nombres consécutifs divisible par le nombre suivant. Propriété générale. Somme de deux cubes de nombres successifs: n^3 + (n+1)^3. Elle est toujours divisible par (2n+1).
		Une des solutions de x^3 + y^3 = 9, avec un nombre négatif.
			Sommes de deux cubes rationnels. La plus petite solution avec nombres positifs, trouvée par Dudeney.
9 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 6^2 – 3^3 = 36 – 27 = 15^2 – 6^3 = 225 – 216 = 253^2 – 40^3 = 64 009 – 64 000	Différences de deux puissances. Notez 25 et 16 dans deux cas.
9^2k = ... 1 9^2k+1 = ... 9	9 élevé à une puissance paire donne 1 pour unité. 9 élevé à une puissance impaire donne 9 pour unité.

Nombre en puissances

Voir Puissance / Racine

9^2 = 81 et 8 + 1 = 9 8^3 = 512 et 5 + 1 + 2 = 8 7^4 = 2401 et 2 + 4 + 0 +1 = 7		Nombre de Kaprekar. Aussi, nombre égal à la somme des chiffres du carré. Cas unique. Pépite en l'associant à 8 et 7.
7² = 2² + 3² + 6² = 49 9² = 1² + 4² + 8² = (8 + 1)² = 81 11² = 2² + 6² + 9² = 121		Somme de trois carrés distincts. Le plus petit avec 7² et le suivant avec 11. Notez que 10² = 6² + 8²
9² = 81 => 8 + 1 = 9 = 3² 10² = 100 (1); 11² = 121 (4); 12² = 144 (9); 13² = 169 (16); 14² = 196 (16); 15² = 225 (9)		Nombre dont la somme des chiffres du carré est un carré. Premier tel nombre d'une suite de sept.
		Carré concaténation de deux cubes.
9² = 41² – 40² = 41 + 40		Triplet de Pythagore jumeau, comme tous les nombres impairs au carré >>>
(9² + 10²)² = 105^3 – 104^3 = 32 761		Curiosité avec des nombres successifs. Même chose avec 9, 35, 132.
9^2 – 1 = 80 9^3 – 1 = 728 = 8 x 91		Toutes les puissances paires de 9, moins 1, sont divisibles par 80. Sinon (impair): divisible par 8.
		Tous les chiffres, sauf 8. Voir Nombre de Lewis Carroll
9^3 = 729 = 8 x 9 x 10 + 9 = 720 + 9 = 729		Nombre trimorphe (cube se termine par le nombre) Un cube est égal au produit du nombre par ses deux voisins plus le nombre >>>
9^3 = 1^3 + 6^3 + 8^3 = 1^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3 = 2^3 + 2^3 + 3^3 + 7^3 + 7^3		Cube somme de trois cubes distincts. Les trois seules pour jusqu'à cinq cubes dont deux avec cubes distincts.
9 cubes pour 23 et 239		Théorème de Waring: Tout nombre est la somme d'au plus neuf cubes. En fait, tous sont somme de huit cubes sauf 23 et 239.
9^4 = 9^3 + 18^3		Bicarré somme de deux cubes.
9^4 = 2^4 + 4^4 + 6^4 + 6^4 + 6^4 + 7^4 = 16 + 256 + 3x1296 + 2401 = 6 561		Plus petite solution de ce genre.
9, 81, 729, 6 561, 59 049, 531 441, 4 782 969, 43 046 721, 387 420 489, 3 486 784 401	Les dix premières puissances de 9. L'unité est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires.
9^2 = 81 9^4 = 6561 9^6 = 531 441 8^8 = 16 777 216 9^10 = 3 486 784 401		Aucun chiffre en commun dans le nombre et ces puissances.
		Somme des chiffres n^n divisible par n. Liste: 1, 2, 3, 9, 18, 27, 54, 90, 108, 163, 197, 254, 432, 1292, 2202, 9648, … OEIS A108827
…u^9 = … u		La puissance 9^e d'un nombre quelconque se termine par le même chiffre des unités que le nombre lui-même. Même chose pour la puissance 5.
9^9^9 = 9 ^387 420 489 = 42812477... ...27177289 = 4,281... 10^369 693 099		369 693 100 chiffres.
2^9 + 9 = 521		Élément d'un motif général.

Autour du nombre

Joli motif avec les repdigits en 9

0, 1, 2 … 9	Le plus grand chiffre du système décimal.
910 = 1003	9 = 100 en base 3.
1 ou 9	Unité du carré de tout nombre premier supérieur à 5.
9 = Sc{6!, 7!, 8! }	Somme des chiffres de ces trois factorielles successives.
9 = !4 = 4! * (1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)	Sous-factorielle 4.
… 999 999 …	762^e à 767^e décimales de Pi.
(9 x 123 456 789) – 123 456 789 = 987 654 321 – 9	Motif pannumérique (avec les neuf chiffres).
12 345 678 x 9 + 9 = 111 111 111	Chaîne de formation de repunits.
9 | 10^9+1 – 1	Cas de divisibilité aussi observé pour: 3, 9, 11, 33, 77, 99, 143, 303, 369, 407, 707, 959, 1001, …

Jeux – Curiosités

1 + 9 = 10 1 × 9 = 9	Seules opérations telle que la somme ait deux chiffres et le produit un seul. En revanche, il y a huit opérations avec les propriétés inverses: somme à un chiffre et produit à deux chiffres. Exemple2 + 5 = 7 et 2 × 7 = 14
					Fractions avec tous les chiffres une seule fois, avec ou sans le "0"
	Jeu du quatre 4.
456123 – 123456 = 530865 = 9 x 58985 (exemple)		Un nombre et son retourné: leur différence est divisible par 9. voir Devinette de la date de naissance
72 – 27 = 45 => 54 – 45 = 9 (exemple)		Impasse de Kaprekar.
9 = 3² = 65 – 56 et 65 + 56 = 11²		Curiosité avec 56 et son retourné.
12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 9876 …				Motif itératif.
12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 …				Motif itératif.
9 x 987654321 = 8 888 888 889 18 x 987654321 = 17 777 777 778 27 x 987654321 = 26 666 666 667 …				Motif itératif pannumérique.
9 x 1089 = 9801 9 x 10089 = 90801 9 x 10449 = 94041 …			Produits qui conservent les chiffres.
			Trois seules divisions pannumériques (sans le "0") avec quotient égal à 9.

Sommes des puissances successives de 9

9^0 + 9^1 + 9^2 + … + 9^k = …u ? 9^0 + 9^1 = 1 + 9 = 10 = …0 9^0 + 9^1 + 9^2 = 10 + 81 = …1 9^0 + 9^1 + 9^2 + 9^3 = …1 + …9 = …0 Les cinq premières sommes: [1, 10], [2, 91], [3, 820], [4, 7381], [5, 66430]		Unité de cette somme? L'unité des puissances de 9 est 1 pour les puissances paires et 9 pour les impaires. L'unité de la somme vaut: u = 1 si k est impair, et u = 0 si k est pair. La somme est un nombre triangulaire. Voir Brève 22-431
N = 9^1 + 9^2 + 9^3 + 9^4 = 7 380 = 2 x 3 690	Comment dire que ce nombre est pair sans calculer la somme? Ou, formulé autrement: quel est le plus petit diviseur de ce nombre Le nombre 9 est impair, ses puissances sont impaires. La somme de quatre impairs est paire.

9 = 1! + 2! + 3! 9 = 3! + 3	Somme de  Factorielles. Faire 9 avec k chiffres identiques.
9 x 2 = 18 & 1 + 8 = 9 99 x 2 = 198 & 1 + 98 = 99		Motif itératif avec les repdigit en 9.
9 = 97524 / 10836 = 95823 / 10647 = 95742 / 10638 = 75249 / 08361 = 58239 / 06471 = 57429 / 06381		Motif pannumérique (avec les dix chiffres).
9 x 16 583 742 = 149 253 678 9 x 26 x 531 487 = 627 x 198 354 = 124 367 958		Pannumériques de chaque côté du signe égal.
9 = 4 / 0,444….		Bien utile pour le jeu du quatre-quatre et résoudre le cas de 73.

Décimales

Voir page dédiée >>>

Identité détaillée

Voir Diviseurs, Quantité, Somme, Fonctions arithmétiques

Numération: base, [chiffres]		Repdigit (Brésilien)
2, [1, 0, 0, 1] 3, [1, 0, 0] 4, [2, 1] 5, [1, 4]	6, [1, 3] 7, [1, 2] 8, [1, 1] 9, [1, 0]	8, [1, 1]

Voir Bases / Brésiliens

Suite	Voir le menu en haut de page Nombre 9 en sciences Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique
Voir	Planètes Base Ball 9 Points
Site	Références Internet
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/NeufP11.htm

Âge deviné >>>

Magie >>>

Nombre Irrationnel >>>