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Édition du: 06/02/2024 M'écrire Brèves de Maths

Débutant Glossaire Types de nombres Nom des nombres Écriture des nombres Table des facteurs Langues	Dictionnaire des Nombres
	0 / 0,… / 1 / 10 / 50 / 100		200 à 300		300 / 400 / 500 / 600 / 700 / 800 / 900 / 1 000 / 2 000 / 5 000 / 10 000 / 100 000 / 10^6 / 10^9 / 10^100
	200	210	220	230	240	250	260	270	280	290
	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239

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· Deux-cent-trente-neuf

· Two hundred thirty nine

Nouvelle orthographe

avec des traits d'union partout

Facteurs
Binaire	1110 1111
Bases	222123 32334 13114 [14, 15]16
Romain	CCXXXIX

Suite en propriétés arithmétiques

· Congruent

· Déficient

· Heureux

· Impair

· Jumeau avec 241

· Premier

· Premier bon

· Premier de Chen

· Premier de Luhn

· Premier de Ramanujan

· Premier résistant

· Premier de Sophie Germain

· Premier fort

Chiffres et numération

239 + (2 + 3 + 9) = 253 = T22 239 – (2 + 3 + 9) = 225 = 15²	· Devient triangulaire ou carré avec la somme de ses chiffres.
239	· N'est repdigit dans aucune base. Il n'est pas brésilien.

Avec les puissances

239 = 1² + 2² + 3² + 15² = 1² + 6² + 9² + 11² = 3² + 5² + 6² + 13² 239 = 2² + 3² + 8² + 9² + 9² = 3² + 6² + 7² + 8² + 9² = 5² + 5²+ 5² + 8² + 10²	· Sommes de carrés. Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés et 239 exige les quatre (pas de somme de trois ou deux carrés). Voir Théorème de Waring. 239 est six fois la somme de quatre carrés et 22 fois la somme de cinq carrés.
23 = 2. 2^3 + 7. 1^3 239 = 2. 4^3 + 4. 3^3 + 3. 1^3	· 9 cubes. Tout entier est décomposable en somme d'au plus neuf cubes. En fait, les deux seuls qui nécessitent les 9 termes sont 23 et 239. Prouvé par Dickson. Voir Théorème de Waring
239 = 2.3^4 + 4.2^4 + 13.1^4	· 19 puissances quatrièmes.
	· Le produit de quatre nombres consécutifs plus 1 est un carré.

Somme de puissances

239 est la somme de maximum de termes spécifiées par le théorème de Waring:
4 carrés (1² + 2² + 3² + 15²)
9 cubes (1³ + 4 × 2³ + 3 × 3³ + 5³ = 3 × 1³ + 4 × 3³ + 2 × 4³)
19 bicarrés (13 × 1³ + 4 × 2³ + 2 × 3³)

Pas le cas pour la suite:
22 puissances 5 (15 × 1⁵ + 7 x 2⁵) sur 37 au maximum.

En puissance

239² = 2 × 169² – 1	· Motif carré en 2n² + 1.
239^2 = 2 x 13^4 – 1 = 57 121	· Une des deux seules solutions de n² = 2m^4 – 1. L'autre est triviale: 1² = 2.1^4 – 1 Prouvé en 1942 par W. Ljunggren (JM De Koninck)
239² = 2 x 169² – 1 = 2 x 13^4 – 1 57 121 = 2 x 28 561 – 1	· Une des solutions del'équation de Pell-Fermat: x² = 2y² – 1 Les solutions jusqu'à 100 000: [1, 1], [5, 7], [29, 41], [169, 239], [985, 1393], [5741, 8119], [33461, 47321]
239² = 2 x 169² – 1 = 2 x 13^4 – 1	· La solution de l'équation de Pell-Fermat: x² = 2m^4 – 1 (la seule, hors avec 1)
2 ^239 – 1	· Mersenne non premier.

Autour du nombre et Jeux

1 / 239 = 0,0041841 00418… 1111111 / 239 = 4 649		· Nombre périodique.
239 / 169 = 1,414201183… √2 = 1,4142135		· Approximation de racine de 2.
9 999 999 = 3² × 239 × 1649		· Facteur de ce 9-repdigit.
		· Formule de Machin. Robert Mufano explique: 2 × 13^4 = 239^2 + 1 = 57122 2 × 13 = 5^2 + 1 = 26 arctan(x) + arctan(y) = arctan( (x + y) / (1 - x y) )
239	· Plus petit indice de la suite 7-Gödel à être non-entier. · Plus petit indice de la suite 11-Gödel à être non-entier.
		· Jeu du quatre 4. Avec la notation .4 = 0,4 = 2/5

Culture

Cosmologie

· 239 Corps notables dans le système solaire (janvier 2020).

>>>

Identité détaillée

Voir Diviseurs, Quantité, Somme, Fonctions arithmétiques

Numération: base, [chiffres]			Repdigit (Brésilien)
2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1] 3, [2, 2, 2, 1, 2] 4, [3, 2, 3, 3] 5, [1, 4, 2, 4] 6, [1, 0, 3, 5] 7, [4, 6, 1] 8, [3, 5, 7] 9, [2, 8, 5] 10, [2, 3, 9] 11, [1, 10, 8]	12, [1, 7, 11] 13, [1, 5, 5] 14, [1, 3, 1] 15, [1, 0, 14] 16, [14, 15] 17, [14, 1] 18, [13, 5] 19, [12, 11] 20, [11, 19] 21, [11, 8]	22, [10, 19] 23, [10, 9] 24, [9, 23] 25, [9, 14] 26, [9, 5] 27, [8, 23] 28, [8, 15] 29, [8, 7] 30, [7, 29] 60, [3, 59]	238, [1, 1]

Voir Bases / Brésiliens

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