NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	TRIANGLES
Débutants Triangle	TRIANGLES – Exercices						Glossaire Triangle
INDEX Triangle équilatéral Défis en géométrie Triangle Géométrie Jeux et énigmes	Types de triangles		Rectangle	Isocèle		Équilatéral
	Quatre carrés		Tête géométrique		Carré et 2 Trg Équilatéraux (1)
	Exercices 01		Escalier dans cercle		Carré et 2 Trg Équilatéraux (2)
			Carrés dans cercle		Rect et 2Trg Équilatéraux
			Triangle dans carré		Triangle dans le cercle
	Cinquième et +	Sommaire de cette page >>> Le problème >>> Montrer que DEF sont alignés >>> Solution analytique (utilisation des coordonnées) >>> Mesure de DF et EF en utilisant les coordonnées >>> Utilisation des relations dans le triangle >>> Avec mise en évidence d'un axe de symétrie >>> Carré dans le triangle rectangle

Problème du carré

et des deux triangles équilatéraux

Problème du pentagone non-régulier

Une figure simple et de nombreuses possibilités de démonstrations de niveau cinquième jusqu'à niveau seconde.

Le problème
Un carré ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC. Montrez que les points D, E et F sont alignés. Donnez la mesure du segment DF.

Niveau cinquième

Une idée pour suivre la démonstration sur la figure: copiez-la avec l'outil de capture d'écran.

Montrer que DEF sont alignés
Hypothèses	ABCD est un carré de côté a. AEB et BFC sont des triangles équilatéraux de côté a.
Théorèmes	La somme des angles dans un triangle quelconque est égale à 180° >>> Dans un triangle isocèle, les deux angles adjacents à la base sont égaux et valent chacun: ½ (180° - angle au sommet) >>> Hauteur du triangle équilatéral:

Solution 1 DÊF est un angle plat	DÊF = DÊA + AÊB + BÊF
Évaluation de DÊA dans le triangle isocèle DAE	Angle en A = 90 – 60 = 30° Angle en D et en E = ½ (180 – 30) = 75°
Évaluation de BÊF dans le triangle isocèle EBF	ABE = 60° ; EBC = 30° ; CBF = 60° => EBF est droit BEF = ½ (180 – 90) = 45°
Reprise de notre angle DÊF	DÊF = 75 + 60 + 45 = 180° = Angle plat Les points D, E et F sont alignés.

Triangle isocèle CDF	Angle au sommet = 90 + 60 = 150° Angle à la base = ½ (180 – 150) = 15°
Triangle isocèle DAE	Angle au sommet = 90 – 60 = 30° Angle à la base = ½ (180 – 30) = 75° Angle CDE = 90 – 75 = 15°
Égalité des angles	CDF = CDE = 15° Les points D, E et F sont alignés

Mesure de DF	DF² = F'D² + FF'² F'D = a/2 FF' = a + hauteur du triangle équilatéral
Évaluation

Solution 2 – Autour du point E

On prolonge BE qui coupe DC en G. Les angles DEG et BEF sont égaux (Voir la figure). Or B, E et G sont aligné; alors, D, E et F le sont.

Solution 3– Hauteurs de triangles qui sont parallèles

On trace la hauteur issue de A du triangle DAE. Son angle par rapport a AD est égal à 15° (Voir figure). On trace la hauteur issue de B du triangle EBF. Son angle par rapport a AD est égal à 15° (Voir figure).

Ces deux hauteurs font le même angle par rapport à deux droites parallèles (AD et BC), elles sont parallèles. Étant perpendiculaires aux segments DE et EF, ceux-ci sont parallèles. Ayant un point commun (E), ils sont alignés.

Niveau seconde

Solution analytique (1) Utilisation des coordonnées des vecteurs
On choisit A comme origine du système d'axes. Ce qui fixe naturellement les coordonnées des quatre sommets du carré.	A (0, 0) B (1, 0) C (1, 1) D (0,1)
Coordonnées des sommets E et F des triangles équilatéraux. On calcule la longueur de la hauteur du triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore.
Vecteurs DE et DF
Deux vecteurs sont colinéaires si le déterminant est nul ou autrement dit: uv' = u'v Utilisation d'une identité remarquable (a² - b²). Le déterminant est nul, les vecteurs DE et DF sont colinéaires.

Solution analytique (2) Utilisation de l'équation des droites
Les coordonnées sont connues	Voir ci-dessus
Coefficient directeur de la droite DE	D (0,1)
Coefficient directeur de la droite DF Multiplication par le conjugué pour chasser le radical du dénominateur	D (0,1)
Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux (elles ont la même pente).	Les droites issues du même point D sont confondues Les points D, E et F sont alignés.

Mesure de DF et EF en utilisant les coordonnées
Rappel des coordonnées	D (0, 1)
Longueur de DE
Longueur de EF
Longueur de DF
Comparaison Il est plus facile de rester avec les carrés du fait de la présence de radicaux. Pensez à reformer un carré sous le radical lorsque c'est possible comme ici..	DF = DE + EF ? DF² = (DE + EF)² ?

Utilisation des relations dans le triangle
Loi des cosinus (formules d'al Kashi)
Triangle DCF Angle en F = 90 + 60 = 150 ° cos 150° = - / 2
Triangle DAE Angle en A = 30 cos 30° = / 2
Triangle EBF isocèle et rectangle Angle en B = 90°	EF² = EB² + FB² = 1² + 1² = 2
Comparaison Plus facile avec les carrés en mettant tout les radicaux "compliqués" du même côté.	DE + EF = DF ? Si égalité, alors alignement. ? ?

Avec mise en évidence d'un axe de symétrie
La figure d'origine en bleu est dupliquée (rouge) et on lui applique une rotation de 60° autour de B. Image de F = C Image de E = A Image de D = D' Montrer que F, E et D sont alignés, c'est montrer que C, A et D' sont alignés. Le triangle DBD' est équilatéral car BD = BD' (diagonale du carré) et l'angle en B est égal à 60° (somme de trois angles, facile à identifier). D'C est un des axes de symétrie de ce triangle, donc médiatrice de DB. Or AC, diagonale du carré, est aussi médiatrice de DB. Alors, C, A et D' sont bien alignés.

Carré dans le triangle rectangle
Construction Un triangle rectangle (par exemple: 3, 4, 5). Quelle est la taille maximale du carré construit ? Avec GeoGebra, on construit le triangle ABC. Le curseur d est mis en place. Le carré ADEF (bleu) est construit avec un côté égal à d. Le curseur est ajusté pour placer le sommet E sur le côté BC On lit 1,71 sur le curseur. La taille maximale du carré est 1,71… Piste On note que les triangles rectangles CBA, CFE et EDB sont semblables. On utilisera le théorème de Thalès qui précise les proportions. Calculs avec les triangles CFE et CAB

Voir Brève 52-1035 / Suite de carrés dans le triangle rectangle

Retour	Exercices sur les triangles rectangles
Suite	Rectangle et deux triangles équilatéraux Triangle équilatéral Types de triangles Triangle – Index
Voir	DicoMot Droite Égalités des triangles Énigme de l'enveloppe Enseignement – Collège Géométrie – Index Résolution du triangle quelconque Triangle de Pythagore
Site	Il était une fois un carré et deux triangles – Camille Charra et Pacale Pombourcq
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Exercice/TriaEq01.htm