NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES – Exercices

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

TRIANGLE

Types

Rectangle

Isocèle

Équilatéral

Exercices 01

Carré et 2 Trg Equilatéraux

Quatre carrés

Rect et 2Trg Equilatéraux

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème et sa solution géométrique

>>> Solution analytique (avec les coordonnées)

>>> Solution par rotation

>>> Formation d'un triangle équilatéral

>>> Triangle équilatéral dans un carré

 

 

 

 

Problème du RECTANGLE

et des deux triangles ÉQUILATÉRAUX

 

Comment calculer la longueur du segment joignant les sommets des deux triangles équilatéraux? Et autres questions …

 

 

 

Le problème et sa solution géométrique

Problème

Un rectangle ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC.

 

Quelle est la longueur du segment EF, joignant les deux sommets des triangles équilatéraux?

 

Remarque

Angle EBF =  angle EBC + angle CBF

= (90 – 60) + 60  = 90°

 

Le triangle EBF est rectangle

Ses côtés sont les côtés des triangles équilatéraux.

EB = a et BF  = b

Théorème de Pythagore:

EF²  = a² + b²

La longueur de EF est égale à celle des diagonales du rectangle ABCD:

EF = AC  = BD

 

 

 

Solution analytique (avec les coordonnées)

Hauteur d'un triangle équilatéral

Coordonnées des sommets des triangles.

 

Distance ente ces deux points: théorème de Pythagore sur les écarts en x et en y.

 

 

 

 

Solution par rotation

La figure initiale (bleue) est dupliquée (rouge). Celle-ci subit une rotation de 60°autour de B.

 

Alors, le point A passe en E et le point C passe en F. On dit que E est l'image de A et que F est l'image de C.

 

Si bien que le segment EF est l'image du segment AC, la diagonale du rectangle.

 

 

 

Formation d'un triangle équilatéral

Un rectangle et deux triangles équilatéraux tous deux externes ou tous deux internes. On relie les trois points comme indiqué: la figure est un triangle équilatéral.

 

En effet: les trois triangles hachurés ont un angle de 90 + 60 = 150° et deux côtés de longueur a et b. Ils sont tous les trois égaux.

 

Alors, les troisièmes côtés ont même longueur. Le triangle ainsi formé est bien équilatéral.

 

 

 

 

Triangle équilatéral dans un carré

Problème

Un carré ABCD  et un triangle équilatéral AEF inscrit dans le carré avec un sommet commun en A.

 

Prouvez cette relation entres les aires des triangles: X + Y = Z.

 

Triangle rectangle ABF

 

Aire du triangle ABF = ½ AB . BF

 

Identité trigonométrique sur les angles doubles

 

 

Aire du triangle ADE

 

Même principe avec un angle en A:
90 – 60 – alpha = 30 - alpha

 

Aire du triangle ECF

 

Même principe avec un angle en F:
 180 – 60 – (90 – alpha) = 30 + alpha

La relation à démontrer

 

 

Identité trigonométrique sur les sommes

 

 

Différence

 

 

 

 

 

Retour

*    Un carré et deux triangles équilatéraux

 

Suite

*   Triangle équilatéral

*    Types de triangles

*    TriangleIndex

 

Voir

*    DicoMot

*    Droite

*    Égalités des triangles

*    Énigme de l'enveloppe

*    Enseignement – Collège

*    Géométrie Index

*    Résolution du triangle quelconque

*    Triangle de Pythagore

Site

*    Il était une fois un carré et deux triangles – Camille Charra et Pacale Pombourcq

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Exercice/TriaEq02.htm