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NOMBRES BRÉSILIENS ou Nombres uniformes (repdigits) en
base b Les nombres
brésiliens sont des nombres n qui deviennent repdigits selon une base b inférieure à n – 1. Ils
présentent quelques propriétés intéressantes. Ils sont surtout une bonne
occasion de s'entrainer au calcul avec les bases
de numération. On termine la page avec une application inattendue d'une
identité remarquable. Exemples
de nombres brésiliens
Historique Première
apparition de ces nombres en 1994 lors d'une Olympiade au Brésil. Bernard Schott publie un
article et les remet au goût du jour
sur un forum de mathématiques en 2007. Cette race de nombres est
désormais enregistrée dans l'encyclopédie des nombres en OEIS
125134. |
Anglais: Brazilian number/ Portugais: numero brasileira
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Famille |
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Approche |
Nombre
décimal n qui devient repdigits
dans une autre base sous conditions. Ex:
100 = 55 en base 19, car 5 x 19 + 5 = 100. 86 = 222 en base 6, car 2x6² + 2x6 +
2 = 86 Ces
deux nombres sont brésiliens. |
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Définitions |
NOMBRE BRÉSILIEN Un
nombre entier n > 0 est dit
brésilien s’il existe un entier b, vérifiant 1 < b < n – 1, pour lequel la représentation de n en base b s’écrit avec des chiffres tous égaux. |
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Exemples |
Un
exemple de "race" de nombres brésiliens: n = … + b2 + b + 1 (sous
réserve de la satisfaction de l'inégalité de définition). Ce
sont des repunits en base b. 7 = 22 + 2 + 1 = 1112 13 = 32 + 3 + 1 = 1113
21 = 42 + 4 + 1 = 1114 85 = 43 + 42 + 4 +
1 = 11114 1111 = 103
+ 102 + 10 + 1 = 111110 Voir Cas du nombre
600 |
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Non brésilien |
Le
nombre 9, par exemple, n'est pas brésilien. Expressions
de 9 décimal pour les bases de 2 à 7: (n, base,
puis chiffres) 9, 2, [1,
0, 0, 1] = 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 20
= 8 + 1 9, 3, [1,
0, 0] = 1 x 32 + 0 + 0 9, 4, [2,
1] = 2 x 41 + 1 x 40 = 8 + 1 9, 5, [1,
4] = 1 x 51 + 4 x 50 = 5 + 4 9, 6, [1, 3]
= 1 x 61 + 3 x 60 = 6 + 3 9, 7,
[1,2] = 1 x 71 + 2 x 70 = 7 + 2 |
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Deux
conditions à respecter:
Ces
conditions s'appliquent à tout le reste de cette page, sans que celles-ci
soient répétées à chaque fois. |
Voir Tables des
brésiliens, non-brésiliens, brésiliens carrés ou cubes, brésiliens premiers.
Nombres et système de numération – Rappels
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Le
nombre 456 en base 10 est une forme abrégée
de: 4
x 100 + 5 x 10 + 6 = 4 x 102
+ 5 x 101 + 6 x 100. Sachant
que 100 = 1. Le
nombre 123 en base 4 est une forme abrégée de: 1
x 42 + 2 x 41 + 3 x 40 = 27 On
écrit: 1234 = 2710 On
lit: 123 en base 4 vaut 27 en base 10. |
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Un nombre
brésilien est un repdigit en base b. Sa valeur décimale se calcule en développant
le repdigit. |
22224 = 2 x 43 + 2 x 42
+ 2 x 41 + 2 x 40 = 2 (43 + 42
+ 41 + 40) = 2 (64 + 16 + 4 + 1)
= 2 x 85 = 170 Notez la
possibilité de mettre le chiffre 2 répété en facteur commun. |
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Première
factorisation Expression
générique avec la mise en facteur du chiffre c répété: |
Remarque: de deux choses l'une:
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Seconde
factorisation Mise en
évidence de b en facteur commun en faisant passer le 1 de droite à gauche. |
Remarque: la base b est évidemment différente de 1,
par conséquent ce nombre est composé (même si B est premier avec c = 1). Exemple 93 = 3335
= 3 (5² + 5 + 1) et 93/3 – 1 = 30 = 5(5 + 1) = 25 + 5 = 30 |
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Base
n – 1 et tout nombre n Un nombre n quelconque s'écrit 11 en base n – 1. Cette
base (n – 1) est exclue de la caractérisation des nombres brésiliens, sinon tous
les nombres seraient brésiliens. |
Exemples
n = (n – 1) + 1 = 11n – 1 |
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Base
k – 1 et tout nombre pair Tout nombre pair (2k), supérieur à 7,
est un nombre brésilien. Cette propriété est
généralisable, voir ci-dessous |
Exemple Développons
le nombre 22k – 1 22k–1
= 2(k – 1)1 + 2 x(k – 1)0 = 2(k – 1) + 2 = 2k (un nombre pair). Ainsi: 12 = 2 x
6 = 225 100 = 2 x 50 = 2249 |
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Avec la
première factorisation, on peut affirmer que: Tout nombre composé peut se mettre sous une
forme brésilienne avec c égal à l'un des diviseurs, sauf … … Seuls
sont recevables, les motifs satisfaisants
les inégalités sur la base. …
Également, seuls sont recevables les nombres
ayant plus de trois diviseurs, excluant les
carrés de nombres premiers. À droite, trois exemples. En rouge,
les diviseurs d qui forment un nombre brésilien de base d – 1. |
Diviseurs
de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Avec: 12 = 2 x 6 = 2 x ((6 – 1) + 1) = 2 x 115 =225 Aussi: 12 = 3 x 4 = 3 ((4 – 1)
+ 1) = 3 x 113 = 333 Oups, dans ce cas, le chiffre est égal à la base,
ce qui n'est pas possible. Diviseurs
de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,
60} 60 = 2 x 30 = 2 x ((30 – 1) + 1) = 2 x 1129 = 2229 60 = 3 x 20 = 3 x ((20 – 1) + 1) = 3 x 1119 = 3319 60 = 4 x 15 = 4 x ((15 – 1) + 1) = 4 x 1114 = 4414 60 = 5 x 12 = 5 x ((12 – 1) + 1) = 5 x 1111 = 5511 60 = 6 x 10 = 6 x ((10 – 1) + 1) = 6 x 119 = 669 60 = 10 x 6 = 10 x ((6 – 1) + 1) = 10 x 115 =
Impossible car le chiffre "10" est supérieur à la base 5. Avec les 12 diviseurs de 60, il est possible de former 5 nombres
brésiliens. Diviseurs
de 111 111 = {1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111,
143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221,
1443, 2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111} Avec ces 32 diviseurs, il est possible de former 15 nombres
brésiliens. Il existe en plus, une configuration à 3 chiffres: 111 11110
= [11, 11, 11]100 |
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Avec la
première factorisation, on peut affirmer qu'un nombre brésilien n'est premier
que si c = 1, et alors Tous les nombre brésiliens premiers sont des repunits. |
Avec c =
1, le nombre brésilien peut être premier
et c'est un repunit
(tous ses chiffres sont 1).
Exemple 157 = 12² +
12 + 1 = 1
x 122 + 1 x 121 +
1 x 120 =
11112 157 est un nombre brésilien premier et c'est un
repunit en base 12. |
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Un nombre non-brésilien est un nombre premier ou un carré de nombre premier. Ceci
résulte des deux propriétés énoncées ci-dessus:
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Seule exception 121 = 11² = 111113 Exemples 11 est le plus petit nombre premier non
brésilien. 9 est le plus petit carré de premier non
brésilien. Suite en Table des nombres non-brésiliens |
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Un multiple d'un nombre brésilien est un brésilien. À droite, exemples. En rouge,
les diviseurs d qui forment un nombre brésilien de base d – 1. |
Diviseurs de 60 = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Diviseurs de 120 = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} Diviseurs de 180 = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90,
180} Diviseurs de 180 = {1, 2, 3, 4,
5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75,
100, 120, 150, 200, 300, 600} |
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Quelle que soit la base B, les
puissances de B, moins 1, sont des nombres brésiliens. Notez qu'avec B = 2, nous avons les nombres de
Mersenne: 2n – 1. Cette
propriété résulte du résultat de la division de Bk – 1 par B – 1:
Et avec A = B – 1
Voir Identités remarquables
en An – 1 Quelques exemples et relation générale
Voir Tableau illustratif / Listes de ces nombres Autres exemples 1002 – 1 = 9999 = [99,
99]100
102 – 1 = 99 = [9,
9]10
22
– 1 = 3 = [1, 1]2 Ce cas est à exclure, car la base
vaut 3 – 1 (et c'est le seul). |
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Bilan
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Le
document de Bernard Schott indique
comment exploiter ces propriétés pour déterminer si un nombre est brésilien
et, si oui, en quelle base. La recherche par ordinateur est présentée ci-dessous et les tables de valeur sur la page suivante. |
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Le premier
programme teste si un nombre est brésilien et en donne les éventuels
développements selon les bases trouvées. Le second
programme se propose de faire une recherche sur les nombres entre deux bornes
(n de 1 à 1000, par exemple). Pour cela, le premier
programme est mis en procédure, une sorte de nouvelle fonction qui,
interrogée pour n, indiquera si ce nombres est brésilien ou non. |
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Programme
Maple
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Commentaires Est-ce que n est brésilien et si oui avec quelles bases? Redémarrage: mise à zéro de tous les paramètres. Test pour le nombre 40 Lancement d'une boucle pour
examiner toutes les bases de 2 à 40 – 2 = 38. Conversion du nombre en base n et mémorisation sous forme de liste de chiffres dans N. Cette liste est convertie en ensemble
{…}, éliminant ainsi les doublons de chiffres. Si la quantité de chiffres (nops: number of operations) dans
l'ensemble est égale à 1 (il n'y a qu'un seul type de chiffre) alors imprimer
le nombre n, la base b et N, le
développement de n en base b. Fin de condition (fi) et fin de boucle (od). En bleu, impression des résultats. Le nombre 40 est quatre fois brésilien. |
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Procédure
Maple
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Commentaires Le programme ci-dessus est transformé en procédure (une sorte de
fonction que l'on pourra appeler à partir d'un autre programme). Cette procédure s'appelle Bres et comporte un paramètre, le nombre n à
analyser. La boucle opère toutes les conversions pour les bases de 2 à n – 2. La
conversion est identique à celle-ci-dessus mais compactée en une seule ligne. La procédure retourne oui si le nombre est brésilien et non dans le
cas contraire. Le programme principal prépare une liste vide et un compteur (kt) à 0. La boucle analyse les nombres n de 1 à 25 et fait appel à chaque fois
à la procédure Bres. Si le retour est "oui", le nombre est ajouté à la liste et
le compteur est incrémenté. En bleu, le résultat du
traitement par ce programme: les treize nombres brésiliens compris entre 1 et
25. |
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Voir Programme de recherche des
super-repdigits / Programmation
– Index
Merci à Bernard Schott pour avoir attiré mon attention sur ce type de
nombres
et pour sa
relecture attentive de cette page.
Cette page
est très inspirée de sa publication citée en référence,
laquelle
contient beaucoup plus qu'il n'est dit ici.
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