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22 Novembre 2025
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NOMBRES BRÉSILIENS ou Nombres uniformes (repdigits) en base b Les nombres brésiliens sont des nombres n qui
deviennent repdigits selon une base b inférieure à n – 1. Ils
présentent quelques propriétés intéressantes. Ils sont surtout une bonne
occasion de s'entrainer au calcul avec les bases de
numération. On termine la page avec une application inattendue d'une
identité remarquable. Exemples
de nombres brésiliens
Historique Première apparition de ces nombres en 1994 lors
d'une Olympiade au Brésil. Bernard
Schott publie un article et les remet au goût du jour sur un forum de mathématiques en 2007.
Cette race de nombres est désormais enregistrée dans l'encyclopédie des
nombres en OEIS 125134. |
Anglais: Brazilian number/
Portugais: numero brasileira
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Famille |
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Approche |
Nombre décimal n qui devient repdigits dans une autre
base sous conditions. Ex: 100 = 55 en base 19, car 5 x 19 + 5
= 100.
86 = 222 en base 6, car 2x6² + 2x6 + 2 = 86 Ces deux nombres sont brésiliens. |
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Définitions |
NOMBRE BRÉSILIEN Un nombre entier n > 0 est dit brésilien
s’il existe un entier b, vérifiant 1 < b < n – 1, pour lequel la
représentation de n en base b s’écrit avec des chiffres tous égaux. |
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Exemples |
Un exemple de "race" de
nombres brésiliens: n = … + b2 + b + 1 (sous réserve de la satisfaction de
l'inégalité de définition). Ce sont des repunits
en base b.
7
= 22 + 2 + 1 = 1112 13 = 32 + 3 + 1 = 1113
21 = 42 + 4 + 1 = 1114 85 = 43 + 42 + 4 +
1 = 11114 1111
= 103 + 102 + 10 + 1 = 111110 Voir Cas du nombre
600 |
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Non
brésilien |
Le nombre 9, par exemple, n'est pas
brésilien. Expressions de 9 décimal pour les bases
de 2 à 7: (n,
base, puis chiffres) 9,
2, [1, 0, 0, 1] = 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 20
= 8 + 1 9,
3, [1, 0, 0] = 1 x 32 + 0 + 0 9,
4, [2, 1] = 2 x 41 + 1 x 40 = 8 + 1 9,
5, [1, 4] = 1 x 51 + 4 x 50 = 5 + 4 9,
6, [1, 3] = 1 x 61 + 3 x 60 = 6 + 3 9,
7, [1,2] = 1 x 71 + 2 x 70 = 7 + 2 |
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Deux conditions à respecter:
Ces
conditions s'appliquent à tout le reste de cette page, sans que celles-ci
soient répétées à chaque fois. |
Voir Tables des
brésiliens, non-brésiliens, brésiliens carrés ou cubes, brésiliens premiers.
Nombres et système de numération – Rappels
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Le nombre 456 en base 10 est une forme abrégée de: 4 x 100 + 5 x 10 + 6 = 4 x 102 + 5 x 101 +
6 x 100. Sachant que 100 = 1. Le nombre 123 en base 4 est une forme
abrégée de: 1 x 42 + 2 x 41 +
3 x 40 = 27 On écrit: 1234 = 2710 On lit: 123 en base 4 vaut 27 en base
10. |
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Un nombre
brésilien est un repdigit en base b. Sa valeur
décimale se calcule en développant
le repdigit. |
22224 = 2 x 43 + 2 x 42 + 2 x 41 + 2 x 40
= 2 (43 + 42 + 41 + 40) =
2 (64 + 16 + 4 + 1) = 2 x 85 = 170 Notez la
possibilité de mettre le chiffre 2 répété en facteur commun. |
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Première factorisation Expression
générique avec la mise en facteur du chiffre c répété: |
Remarque: de
deux choses l'une:
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Seconde factorisation Mise en
évidence de b en facteur commun en faisant passer le 1 de droite à gauche. |
Remarque: la
base b est évidemment différente de 1, par conséquent ce nombre est composé
(même si B est premier avec c = 1). Exemple 93
= 3335 = 3 (5² + 5 + 1) et 93/3 – 1 = 30 = 5(5 + 1) = 25 + 5 = 30 |
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Base n – 1 et tout nombre n Un
nombre n quelconque s'écrit
11 en base n – 1. Cette base (n – 1) est exclue de la
caractérisation des nombres brésiliens, sinon tous les nombres seraient
brésiliens. |
Exemples
n = (n – 1) + 1 = 11n – 1 |
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Base k – 1 et tout
nombre pair Tout
nombre pair (2k), supérieur à 7, est un nombre brésilien. Cette
propriété est généralisable, voir ci-dessous |
Exemple Développons
le nombre 22k – 1 22k–1
= 2(k – 1)1 + 2 x(k – 1)0 = 2(k – 1) + 2 = 2k (un nombre pair). Ainsi: 12 = 2 x
6 = 225 100 = 2 x 50 = 2249 |
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Avec la
première factorisation, on peut affirmer que: Tout
nombre composé peut se mettre sous une forme brésilienne avec c égal à l'un
des diviseurs, sauf … … Seuls sont
recevables, les motifs satisfaisants les inégalités sur la base. … Également,
seuls sont recevables les nombres ayant plus de trois
diviseurs, excluant les carrés de nombres
premiers. À droite, trois exemples. En rouge, les diviseurs d qui
forment un nombre brésilien de base d – 1. |
Diviseurs de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Avec: 12 = 2 x 6 = 2 x ((6 – 1) + 1) = 2 x 115
=225 Aussi: 12 = 3 x
4 = 3 ((4 – 1) + 1) = 3 x 113 = 333 Oups, dans ce cas, le chiffre est égal
à la base, ce qui n'est pas possible. Diviseurs de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,
12, 15, 20, 30, 60} 60 = 2 x 30 = 2 x ((30 – 1) + 1) = 2 x 1129
= 2229 60 = 3 x 20 = 3 x ((20 – 1) + 1) = 3 x 1119
= 3319 60 = 4 x 15 = 4 x ((15 – 1) + 1) = 4 x 1114
= 4414 60 = 5 x 12 = 5 x ((12 – 1) + 1) = 5 x 1111
= 5511 60 = 6 x 10 = 6 x ((10 – 1) + 1) = 6 x 119 = 669 60 = 10 x 6 = 10 x ((6 – 1) + 1) = 10 x 115 =
Impossible car le chiffre "10" est supérieur à la base 5. Avec les 12 diviseurs de 60, il est possible de
former 5 nombres brésiliens. Diviseurs de 111 111 = {1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111,
143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221, 1443,
2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111} Avec ces 32 diviseurs, il est possible de former
15 nombres brésiliens. Il existe en plus, une configuration à 3
chiffres: 111 11110 = [11, 11, 11]100 |
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Avec la
première factorisation, on peut affirmer qu'un nombre brésilien n'est premier
que si c = 1, et alors Tous les
nombre brésiliens premiers sont des
repunits. |
Avec c = 1,
le nombre brésilien peut être premier et c'est
un repunit (tous ses chiffres sont 1).
Exemple 157 = 12² + 12 + 1 = 1 x 122 + 1 x 121
+ 1 x 120 = 11112 157 est un nombre
brésilien premier et c'est un repunit en base 12. |
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Un
nombre non-brésilien est un
nombre premier ou un
carré de nombre premier. Ceci résulte
des deux propriétés énoncées ci-dessus:
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Seule exception 121 = 11² = 111113 Exemples 11 est le plus petit
nombre premier non brésilien. 9 est le plus petit
carré de premier non brésilien. Suite en Table des nombres non-brésiliens |
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Un
multiple d'un nombre brésilien est un
brésilien. À droite, exemples. En rouge, les diviseurs d qui
forment un nombre brésilien de base d – 1. |
Diviseurs
de 60 = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Diviseurs
de 120 = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} Diviseurs
de 180 = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180} Diviseurs
de 180 = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40,
50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600} |
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Quelle
que soit la base B, les puissances de B, moins 1, sont des
nombres brésiliens. Notez qu'avec B = 2, nous avons les nombres de Mersenne:
2n – 1. Cette propriété résulte du résultat de
la division de Bk – 1 par B – 1:
Et avec A = B – 1
Voir Identités remarquables
en An – 1 Quelques exemples et relation générale
Voir Tableau illustratif / Listes de ces nombres Autres exemples 1002 – 1
= 9999 = [99, 99]100 102 – 1 = 99 = [9, 9]10 22
– 1 = 3 = [1, 1]2 Ce
cas est à exclure, car la base vaut 3 – 1 (et c'est le seul). |
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Bilan
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Le
document de Bernard Schott indique
comment exploiter ces propriétés pour déterminer si un nombre est brésilien
et, si oui, en quelle base. La recherche par ordinateur est
présentée ci-dessous et les tables de valeur sur la page suivante. |
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Le premier programme teste si un nombre est brésilien et en
donne les éventuels développements selon les bases trouvées. Le second programme se propose de faire une recherche sur
les nombres entre deux bornes (n de 1 à 1000, par exemple). Pour cela, le premier programme est mis en procédure, une sorte de
nouvelle fonction qui, interrogée pour n, indiquera si ce nombres est
brésilien ou non. |
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Programme Maple
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Commentaires Est-ce que n est brésilien et si oui avec quelles
bases? Redémarrage: mise à zéro de tous les paramètres. Test pour le nombre 40 Lancement d'une boucle pour examiner toutes les bases
de 2 à 40 – 2 = 38. Conversion du nombre en base n et mémorisation
sous forme de liste de chiffres dans
N. Cette liste est convertie en ensemble {…}, éliminant ainsi les
doublons de chiffres. Si la quantité de chiffres (nops:
number of operations)
dans l'ensemble est égale à 1 (il n'y a qu'un seul type de chiffre) alors
imprimer le nombre n, la base b et N,
le développement de n en base b. Fin de condition (fi) et fin de boucle (od). En bleu, impression des résultats. Le nombre 40
est quatre fois brésilien. |
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Procédure Maple
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Commentaires Le programme ci-dessus est transformé en
procédure (une sorte de fonction que l'on pourra appeler à partir d'un autre
programme). Cette procédure s'appelle Bres et comporte un
paramètre, le nombre n à analyser. La boucle opère toutes les conversions pour les
bases de 2 à n – 2. La conversion est identique à celle-ci-dessus mais
compactée en une seule ligne. La procédure retourne oui si le nombre est
brésilien et non dans le cas contraire. Le programme principal prépare une liste vide et
un compteur (kt) à 0. La boucle analyse les nombres n de 1 à 25 et fait
appel à chaque fois à la procédure Bres. Si le retour est "oui", le nombre est
ajouté à la liste et le compteur est incrémenté. En bleu, le résultat du traitement par ce programme: les treize
nombres brésiliens compris entre 1 et 25. |
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Voir Programme de recherche des super-repdigits / Programmation
– Index
Merci à Bernard Schott pour avoir attiré mon attention sur ce type de
nombres
et pour sa
relecture attentive de cette page.
Cette page est
très inspirée de sa publication citée en référence,
laquelle
contient beaucoup plus qu'il n'est dit ici.
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