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Théorie
des ensembles INTRODUCTION Ensemble soyons heureux! C'est une théorie ou une
philosophie … Mais, sur cette page: Nous
nous intéressons aux objets réunis par une même propriété, pour les compter
et les qualifier. Note: Le titre est théorie des ensembles. Mais sur ces pages nous
n'en donnons que les bases de manière simpliste. Pour approfondir, voyez les références indiquées in fine. |
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On pourrait dire un groupe d'objets, mais dans cette théorie, le mot groupe est réservé à
une autre notion.
Les éléments sont séparés par une virgule
ou par un point-virgule lorsqu'il s'agit
de nombres décimaux (pour éviter la confusion avec la virgule décimale)
Notation {n: etc } n est
l'identificateur. Le deux-points est
parfois noté avec une barre verticale
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Exemples d'ensembles L'ensemble des lycéens
en France. L'ensemble des livres de ma bibliothèque. L'ensemble des nombres premiers. L'ensemble composé des lettres A à J. Exemples d'éléments MESFRUITS = {pommes,
poires, abricots} A
= {a, e, i, o, u, y} B
= {0, 2, 4, 6 …} BB
= {0; 2,2; -4,25; 7/3} C = {n: n est premier} L'ensemble C contient tous les nombres n
tels que n est un nombre premier. D = {x: x > 0, x est
pair} L'ensemble D contient tous les nombres pairs
positifs. E = {x: x² - 5x + 6} F = {2, 3} Les deux ensembles E et F, qui ont les mêmes
éléments, sont égaux. |
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Voir Ensemble des nombres entiers,
réels, complexes …
A bien noter
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Une
LISTE énumère des nombres des objets, même répétés. Un
ENSEMBLE est une liste ordonnée dont on a supprimé les doublons. Ainsi:
la liste [2, 2, 6, 3, 1, 5, 6, 1] devient l'ensemble {1, 2, 3, 5, 6}. Notez les crochets et les accolades |
Voir Liste et
ensemble / Densité des ensembles infinis
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Ensembles MESFRUITS = {pommes,
poires, abricots} A = {a, e, i, o, u, y} B = {0, 2, 4, 6 …} Appartenance pommes e 4 |
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Première
approche (extensionaliste)
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E = {2, 4, 4/2, 2²} =
{2, 4} F = {x, x + 8, 3x} si x = 0 alors F = {0,
8} si x = 4 alors F = {4,
12} si x = 0 ou 4 alors F
compte deux éléments, sinon il en a trois. G = {1, 2} = H = {1, 2, 2, 1} = K = {x: x²– 3x + 1 = 0
} |
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Approche
rigoureuse
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E = {1, 1, 2} est une
famille F = {1, 2} est un
ensemble E = {21, a, b} Si a ou b = 21, c'est une famille. Si a et b |
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En résumé Une famille
peut avoir plusieurs copies d'un même élément, alors que la notion d'ensemble est dépourvue de toute possibilité de
spécifier une éventuelle multiplicité de copies d'un élément dans un
ensemble. |
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Voir Ensemble
comme outil de détection des
redondances ou des différences
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En fait, ils ne savaient
pas compter et pourtant, ils arrivaient à dénombrer les moutons du troupeau. À chaque mouton qui sortait de l'enclos, ils
prenaient un caillou
(calculi). Au retour, à chaque mouton qui rentrait dans
l'enclos, ils ôtaient un caillou du tas et, à la fin, vérifiaient que tous
les moutons étaient rentrés si tout le tas de cailloux était épuisé. |
Comparaison d'ensembles
Pratiquement tous les moutons sont rentrés
dans l'enclos. Les deux cailloux restants témoignent du fait que seuls deux
moutons sont encore attendus. Pas plus, pas moins. Les deux ensembles, celui des moutons et
celui des cailloux sont égaux. |
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Égalité de deux ensembles Deux
ensembles sont égaux s'ils comportent la
même quantité d'éléments, quels que soient ces éléments et quel que soit
l'ordre dans lequel ces éléments sont rangés. Si les ensembles E et f
sont égaux alors E est inclus dans F et F est inclus dans E: |
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Tous les habitants de la planète. Tous les points du plan. Tous les nombres entiers.
U = {n: n entiers} P = {n: n entiers pairs} I =
{n: n entiers impairs} La réunion de P et I forme U.
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Ensemble plein U
Dans l'ensemble plein U = {tous les points
du plan}, il y a les points qui sont sur la droite y = x et les autres
points. Ensemble vide A = {animal: insectes et huit pattes} = B = {x: x² + 1 = 0, x nombre réel} = Quelques éléments X = {sucettes} est un singleton; Y = {oui, non} est doublet; Z = {1, 5, 17} est un triplet. Note: un doublet ordonné est un couple |
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Ne pas confondre
"Ensemble plein" et "Ensemble universel"
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La notion
d'ensemble plein a été introduite ici pour
favoriser la compréhension sur cette page
d'introduction à un domaine qui est devenu très rigoureux. La théorie des
ensembles est devenue aujourd'hui l'essence même des mathématiques. Comme le
précise Sylvain Poirier, auteur d'un traité complet sur la théorie
des ensembles, la notion d'ensemble universel
n'existe pas: La notion d'ensemble universel est bien connue
pour être impossible, par le paradoxe
de Russell. Et mème considérant, non la théorie des ensembles, mais une
théorie particulière comme la géométrie,
il ne s'y trouve pas non plus d'ensemble universel: on peut proposer
l'ensemble des points, mais où
est alors l'ensemble des droites
? Ou, si on prend l'ensemble des "points ou droites", dont
l'ensemble des points et celui des droites seraient des sous-ensembles, les triangles se trouvent en
dehors. Généralement pour toute théorie (ou presque ?) avec un "ensemble
universel" de tous ses objets, déjà les couples d'objets n'appartiennent
pas à cet ensemble. |
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Un ensemble est
un moyen commode de définir une collection d'objets dont tous possèdent les
mêmes propriétés. Un ensemble comprend des éléments
uniques. Deux ensembles qui ont la même quantité
d'éléments sont égaux. L'ensemble plein
permet de distinguer deux types de sous-ensembles:
L'ensemble vide
ne contient aucun élément. |
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Suite |
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Voir |
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