NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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RADICAL et nombres complexes

Symbole classique de la racine d'un nombre ou d'une expression. La valeur sous radical (radicande) est positive et le résultat de cette opération est positif.

Attention, dans le monde des nombres complexes son usage est plus délicat. Certaines opérations sont interdites.

Les mots "radicande" et "vinculum" sont peu usités.

"Degré" ou "index" sont peu employés: on dit racine énième ou racine d'ordre n.

Voir Radical d'un nombre entier

Définition

En résumé
RADICAL	Réels	Complexes
Effet de l'opération radical	Positif => Positif	Positif => Positif Négatif => i · Positif* * Perte de symétrie, pas sans conséquence
Réponse
Convention
Équations: deux racines. L'opération radical ne conserve que la racine positive
Exemple avec 1
Exemple avec 4
Composition des produits
Attention: égalité impossible en complexe !	La loi sur les produits: n'est généralement valable que si les nombres a et b sont positifs.	Du fait de la perte de symétrie, la loi sur les produits n'est pas valable avec les nombres négatifs.
Conclusion	Le radical signifie racine carrée positive d'un nombre positif.	Le radical signifie racine carrée positive (complexe). Du fait de la perte de la loi sur les produits, prudence avec l'emploi du symbole radical avec les nombres négatifs. Voir ci-dessous, le procédé de calcul à retenir.

Procédé de calcul avec des racines de nombres négatifs

Explications détaillées

Monde des nombres réels
	Il signifie racine carrée positive du nombre entier n. Aucun nombre n'est négatif.
Racine carrée négative d'un nombre	Il est pourtant vrai que le nombre négatif (–2) est une solution de x² = 4
Racines d'une équation	On dit que 2 et –2 sont les racines de l'équation x² = 4
Composition des radicaux	Produit de deux racines carrées avec des nombres positifs sous les radicaux. Rappel: nous sommes dans le monde des nombres réels positifs.
Attention	Si le produit sous le radical est positif, le calcul est possible. Le produit de racines de nombres négatifs est impossible.

Monde des nombres complexes
Radical avec –1.	Par convention, on pose i² = –1. La racine carrée de –1, par convention, est égale au nombre imaginaire i.
Racine négative.	Comme pour les réels, on a une équation avec deux racines.
Composition sous radicaux:	La multiplication avec un produit positif sous le radical est toujours permise.
Produit de radicaux	Par convention, l'opération radical ne conserve que la racine positive accompagnée de "i".

Commentaires – Calcul numériques
Composition interdite ?	Prudence, avec les nombres complexes, la composition des produits n'est pas possible.
Racine de produit	Calcul avec nombres.
	Calcul avec imaginaire i.
	Calcul avec racine directement.
Produit de racines	Ici, un seul calcul possible.
Bilan	Certains calculs semblent erronés. L'artefact provient du fait que le passage au carré produit deux valeurs et on en choisit une seule avec la racine carrée.	Le mystère provient du fait que: en réel, hormis 0, tous les nombres ont deux racines (positive et négative); et en complexe, le nombre " i²" est spécial: il n'a qu'une seule racine (i).

Ce que disent les logiciels de calcul
En bref	Les logiciels conservent bien la racine positive dans tous les cas. Ils confiment de ce fait l'inégalité entre produit de racines et racine du produit.
En haut Avec –1 et –2, résultats différents confirmés. En bas, avec nombre quelconque À gauche et deuxième ligne, le logiciel ne sait pas calculer. Il ne peut pas décider, car il existe deux racines, la positive et la négative. À droite, on commence par déclarer que les valeurs seront positives. Le logiciel calcule. Le résultat est suivi d'un tilde signifiant la présence d'une hypothèse.

Anglais: to assume: supposer/ sqrt est l'abréviation de squarre root, racine carrée

Résumé: nombres complexes

Écrire des nombres négatifs sous radicaux induit automatiquement que nous sommes dans le monde des nombres complexes.

Certains mathématiciens préfèrent que cette notation avec radicaux ne soit pas utilisée pour les nombres complexes.

Voir Commentaires sur la légitimité d'écrire racine de –1

Il est vrai qu'un des buts de l'introduction des nombres complexes est de disposer de toutes les racines d'un nombre, qu'elles soient réelles ou imaginaires.

Il est donc naturel de penser que parler de la racine dans le monde des complexes fait automatiquement penser à toutes les racines.

Cas du paradoxe avec racine de -1 (fallacy)
En écrivant ceci, on fait une erreur.
Ceci est correct
Ceci est aussi correct
Mais, ceci, non !

Merci à Pierre Menissier pour m'avoir rappelé ce paradoxe avec racines de – 1

Un autre paradoxe
Explication	Ici aussi, la suite des calculs ignorent toutes les possibilités des racines. Le problème est d'avoir élevé au carré, créant de facto deux solutions que la prise de racine carrée devrait prendre en compte.

Notation symbolique de i = racine de –1 – Légitimité ?

Racine des nombres négatifs: la notation n'est pas recommandée en France, alors qu'elle est largement en usage dans les textes anglo-saxons ou même … indiens. En fait, i² = -1 ou sont des abstractions absolument équivalentes. De mon expérience, la seconde étant souvent plus facile à comprendre et à retenir que la première.

Autres notations: en électronique le i est remplacé par j pour ne pas confondre avec i comme intensité. En calcul symbolique sur ordinateur, le i devient majuscule I.

Définition anglaise: a complex number is a number of the form a + ib where a, b , the set of real numbers, and , is called a complex number.

Quelques définitions sur Internet

Encyclopédie de référence américaine: The complex numbers are the field of numbers of the form x + iy, where x and y are real numbers and i is the imaginary unit equal to the square root of -1, sqrt(-1). Wolfram MathWorld

Conclusion: on ne se privera pas d'employer cette notation , notamment lors de l'abord des nombres complexes. Après tout, c'est comme cela que les nombres complexes ont été introduits pour la résolution des équations du troisième degré.

Intégrant l'enseignement supérieur, il sera toujours temps de pointer les subtilités de l'emploi du radical.

Suite	Carré magique avec des complexes Complexes – Index Démonstrations erronées Exemple de calcul avec les complexes et les radicaux Nombres complexes conjugués Opérations sur les complexes Paradoxes Quaternions Théorème de Moivre et applications aux puissances
Terminale	Complexes – Résumé du cours de terminale
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels
Sites	Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres – Wikipédia Mathematical fallacy - Wikipedia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Radical.htm