NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Triangulaires et consécutifs

Nombres triangulaires = double d'un triangulaire: T_n = = 2T_m

Nombres triangulaires = nombre pronique: T_n = a(a+1)

Tk	Triangulaire	Valeur	Produit
T3		6
T20		210
T119		7 140

6, 210, 7140, 242556, 8239770, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470, 372759573255306, 12662852473364940, 430164224521152660, 14612920781245825506, 496409142337836914550, 16863297918705209269200, …

A029549

Les six seuls nombres triangulaires, produit de trois nombres consécutifs:

T_n = a (a + 1) (a + 2)

Tk	Triangulaire	Valeur	Produit
T3		6
T15		120
T20		210
T44		990
T608		185 136
T22 736		258 474 216

A001219

Nombres triangulaires = x! / y!

6, 120, 210, 990, 7140, 185136, 242556, 2162160, 8239770, 258474216, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470, 372759573255306, 12662852473364940, 430164224521152660, 14612920781245825506, 496409142337836914550, …

A001219

Exemples: 120 = 5! = 6! / 3! 210 = 7! / 4! 990 = 11! / 8!
7 140 = 85! / 83! 185 136 = 58! / 55!

Cas triviaux: 7 = 7! / 6! n = n! / (n-1)!

Cas spécial: 120 est à la fois le produit de trois et de quatre nombres consécutifs. C'est le seul cas pour quatre consécutifs.

Commentaires: si la différence entre les deux factorielles est 3, on retrouve la propriété précédente: 120 = 6! / 3! = 6 x 5 x 4.

Fonctions génératrices
Nombre triangulaires Nombres carrés (pour comparaison) Nombres pentagonaux

Voir Nombres carrés / Nombres pentagonaux / Fonctions génératrices des polygonaux

PROPRIÉTÉS
n	Tn = ½ n ( n + 1 )	T10 = ½ 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
Un nombre triangulaire est égal au demi-produit de son rang par son successeur.
n n+1	Tn = Tn–1 + n	T11 = 55 + 11 = 66
Un nombre triangulaire est égal au précédent additionné de son rang (par définition).

2n	T2n = 3Tn + Tn–1 T2n +1 = 3Tn + Tn+1	T6 = 3 x T3 + T2 = 3 x 6 + 3 = 21
Un nombre triangulaire est égal à la somme de 4 nombres triangulaires. Démonstration 2 { 3Tn + Tn-1 } = 3n (n + 1) + (n – 1)n = 3n² + 3n + n² – n = 4n² + 2n = 2n (2n+1) = T2n

Autres propriétés des triangulaires

N	N = Ta + Tb + Tc	5 = 3 + 1 + 1 12 = 10 + 1 + 1 83 = 45 + 28 + 10
Tout nombre est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires. Voir Partition en sommes de puissances

Pascal	Les nombres triangulaires se trouvent dans la 3^e diagonale du Triangle de Pascal

Unité	Les nombres triangulaires se terminent par 0, 1, 3, 5, 6 ou 8. Quantité de fois l'unité selon la puissance de 10 Exemple: parmi tous les nombres triangulaires pour n de 0 à 100, il y en a 20 qui se terminent par 1.
Dizaine	Si l'unité est 3, le nombre triangulaire se termine par 03 ou 53. Si l'unité est 8, le nombre triangulaire se termine par 28 ou 78. Quantité de fois la dizaine selon l'unité pour n de 0 à 10 000 Exemple: parmi tous les nombres triangulaires pour n de 0 à 10 000, il y en a 500 qui se terminent par 35 et 500 par 03.

PUISSANCES
N^2	N² = Tn + Tn-1	1 + 3 = 4 = 2² 3 + 6 = 9 = 3² 6 + 10 = 16 = 4²
Nombres triangulaires carrés: 0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024 … Voir Nombres triangulaires carrés Le triangulaire 36 est le seul carré d'un triangulaire: 6 = 1 + 2 + 3 et 6² = 36 = 1 + 2 + 3 + … + 8. Pas de triangulaire comme cube d'un triangulaire (à ma connaissance). Compte tenu du théorème de Catalan (3^2 – 2^3 = 1 sont les seules puissances avec une différence unité), il n'existe aucun nombre triangulaire cubique. On aurait: ½ n(n + 1) = m^3 => (2n + 1)² – (2m)^3 = 1 => impossible sauf pour n = m = 1. La somme de deux nombres triangulaires successifs est un carré. & Tout carré est la somme de deux nombres triangulaires successifs. Démonstration Tn + Tn-1= ½ n (n + 1) + ½ (n – 1) = ½ (n² + n + n² – n) = 2 n² / 2 = n² Exemples de partition d'un carré 100 = 10 ² = T10 + T9 = 55 + 45 144 = 12 ² = T12 + T11 = 78 + 66 Illustration géométrique 16 = 4² = T4 + T3 = 10 + 6 Voir Énigme des diamants basée sur cette propriété

N^2	N² = 8 T + 1 (2n + 1)² = 8Tn + 1	8 x 1 + 1 = 9 = 3² 8 x 3 + 1 = 25 = 5² 8 x 6 + 1 = 49 = 7²
Huit fois un nombre triangulaire plus 1 donne un carré. Illustration Ces figures montrent bien les huit triangles et le petit carré du milieu et, elle forme manifestement un grand carré.

Racine triangulaire d'un nombre

N^2	(2n + 1)² = 8Tn + 1 = Tn-1 + 6Tn + Tn+1	7² = (2x3+1)² = 8x6 – 1 = 49 = 3 + 6x6 + 10 = 49

N^3	N^3 = Tn² – Tn-1²	3² – 1² = 8 = 2^3 6² – 3² = 27 = 3^3 10² – 6² = 64 = 4^3
La différence entre deux nombres triangulaires successifs au carré est un cube. & Un cube est la différence entre les carrés de deux nombres triangulaires successifs. Démonstration Tn² - Tn-1² = [ 1/2 n (n+1)]² – [ 1/2 (n-1) n]² = 1/4 n² [(n+1)² – (n-1)²] = 1/4 n² x 4n = n^3 Exemples Note: seules quelques Ti² – Tj² avec i et j non consécutifs sont des cubes:

N^3	Nn^3 - Nn-1^3 = 6 Tn-1 + 1	8^3 – 7^3 = 512 – 343 = 6 x T7 + 1 = 6 x 28 + 1 =168 + 1 = 169
La différence entre deux cubes successifs est égale à 6 fois le triangulaire de rang le plus faible plus un. Démonstration Nn ^3 – Nn-1 ^3 = N^3 – (N – 1)^3 = N^3 – (N^3 – 3N² + 3N – 1) = 3N² – 3N + 1 = 3 (N² – N) + 1 = 6Tn + 1
Autres formules montrant la divisibilité avec les cubes Voir Divisibilité par 6

N^4	N^4 = TN (N – 1) – 1 + TN (N + 1) – 1	4^4 = 256 = T4x3 - 1 + T4x5 -1 = T11 + T19 = 66 + 190 = 256
La puissance 4^e de tout nombre est la somme de nombres triangulaires. Exemples

PUISSANCES de triangulaires
T²	Tn^2 + Tn-1^2 = Tn²	6² + 3² = 45 10² + 6² = 136
	Tn+1^2 – Tn^2 = (n + 1)^3	10² – 6² = 64 = 4^3

Bilan

Un nombre triangulaire est le demi-produit de deux nombres consécutifs. Ils sont tous dans la deuxième colonne du triangle de Pascal. Ils sont toujours terminés par 0, 1, 3, 5, 6 ou 8.

Les nombres triangulaires, du fait de leur "géométrie", se prêtent à de nombreuses combinaisons. On retiendra:

Tout nombre est la somme de trois triangulaires.

Tout carré se partitionne en somme de huit triangulaires dont six identiques (N² = T_n-1 + 6 T_n + T_n+1).

Suite Nombres triangles	Particularités (suite) Nomenclature Nombres triangulaires – Somme Inverses des nombres triangulaires – Somme TABLE – Triangulaires TABLE – Triangulaires centrés
Voir Nombres géométriques	Introduction
Voir	Méthode de Newton Partition & Addition Raisonnement par récurrence Somme des cubes des entiers Somme des triangulaires Sommes des entiers, carrés, inverses … Triangles – Index
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Sites	Square triangular number – Wolfram MathWorld Cubic triangular number – Wolfram MathWorld OEIS A001109 – a(n)^2 is a triangular number:
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