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Énigme des diamants

Qui débouche sur une propriété générale des carrés.

Énigme des diamants

Énigme

Un nabab laisse un héritage de diamants à ses enfants:

Au premier: 1 diamant et 1/7 de ce qui reste;

Au deuxième: 2 diamants et 1/7 de ce qui reste;

Au troisième: 3 diamants et 1/7 de ce qui reste;

Etc.

Combien d'enfants, combien de diamants en héritage, combien à chacun, lequel est favorisé?

Solution

Il y a 36 diamants pour cet héritage et 6 enfants.

	1^er	2^è	3^è	4^è	5^è	6^è
Part fixe	1	2	3	4	5	6
Il reste	36 – 1 = 35	28	21	14	7	0
Part fractionnaire	35 / 7 = 5	4	3	2	1	0
Total par enfant	6	6	6	6	6	6
Il reste pour le suivant	36 – 6 = 30	24	18	12	6	0

Exemple de calcul: comment obtenir 28?
36 – 1 = 35; 35/7 = 5; 35 – 5 = 30; 30 – 2 = 28.

Ils ont reçu 6 diamants chacun.

Illustration
Le tableau se met en équation de la manière suivante: 36 = (1 + 5) + (2 + 4) + (3 + 3) + (4 + 2) + (5 + 1) + (6 + 0) = (1 + 35/7) + (2 + 28/7) + (3 + 21/7) + (4 + 14/7) + (5 + 7/7) + (6 + 0/7)

Observation

Cette illustration nous met une puce à l'oreille: 36 est un carré. La partie fixe (rose) est la somme des nombres de 1 à 6 = 6x7/2 = 21, et La partie variable (bleue) est la somme des nombres de 1 à 5 = 5x6/2 = 15; Total 21 + 15 = 36. Un carré est la somme de deux nombres triangulaires consécutifs. Est-ce que cette énigme de partage fonctionnerait si nous choisissions un autre carré? Oui! Exemple avec 25 = 5² Le premier reçoit: 1 diamant + 1/6 de 25 – 1 = 1/6 de 24 = 4 Total 5 diamants; reste 25 – 5 = 20 Le deuxième: 2 diamants + 1/6 de 20 – 2 = 1/6 de 18 = 3 Total 5 diamants; reste 20 – 5 = 15 Le troisième: 3 diamants + 1/6 de 15 – 3 = 1/6 de 12 = 2 Total 5 diamants; reste 15 – 5 = 10 Le quatrième: 4 diamants + 1/6 de 10 – 4 = 1/6 de 6 = 1 Total 5 diamants; reste 10 – 5 = 5 Le cinquième: 5 diamants + 1/6 de 5 – 5 = 1/6 de 0 = 0 Total 5 diamants; reste 5 – 5 = 0. Exemple avec C = c² de 3 à 10, avec F part fixe, V part variable et R le reste à chaque fois F V R F V R F V R F V R 1 2 6 1 3 12 1 4 20 1 5 30 2 1 3 2 2 8 2 3 15 2 4 24 3 0 0 3 1 4 3 2 10 3 3 18 4 0 0 4 1 5 4 2 12 5 0 0 5 1 6 6 0 0 F V R F V R F V R F V R 1 6 42 1 7 56 1 8 72 1 9 90 2 5 35 2 6 48 2 7 63 2 8 80 3 4 28 3 5 40 3 6 54 3 7 70 4 3 21 4 4 32 4 5 45 4 6 60 5 2 14 5 3 24 5 4 36 5 5 50 6 1 7 6 2 16 6 3 27 6 4 40 7 0 0 7 1 8 7 2 18 7 3 30 8 0 0 8 1 9 8 2 20 9 0 0 9 1 10 10 0 0

Généralisation

Soit un nombre C = c² de diamants. Il s'agit de montrer que le partage en une partie fixe et une partie variable est toujours faisable. Au rang k, nous avons: Part fixe = k; et Part variable = reste de rang k (Rk) divisé par c+1. Soit donc à démontrer que le reste est toujours divisible par c+1. L'illustration montre ce résultat. La flèche indique que l'aire sous-jacente vaut: largeur (c-k) fois longueur (c). Bilan Un carré C = c² peut se partitionner en une somme de c termes dont chacun est la somme de deux termes: k et c – k. Au rang k, le reste à partitionner est divisible par c + 1.

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