NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/11/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Comparaison entre PUISSANCES

Comment comparer la valeur de deux puissances sans calculer leur valeur?

21⁵ < ? > 2²¹

APPROCHE
Lorsqu'on peut calculer, la comparaison est simple: Mais, comment s'y prendre pour des puissances plus élevées? Il n'existe pas de formules générales qui donnent le résultat immédiatement. Par contre, il existe des méthodes générales. Je vous propose la suivante utilisant les notions d'arithmétique élémentaire, sans passer par les changements de base et les logarithmes

Voir Calcul mental des carrés

Méthode générale

Faire passer toutes les puissances du même côté, en prenant la racine mième de chacun des deux membres. On se souvient que: Ce qui revient à comparer une puissance à un simple nombre. La plupart du temps, cela suffit à conclure. Exemples Dans le dernier exemple, on aboutit à une puissance décimale. Avec une calculette, il est facile de calculer sa valeur: en utilisant la fonction élévation à la puissance y^x.

Exemple 4 On applique la méthode générale
Comparez: Notre méthode Comparaison évidente	10^26 et 80^3 10^26/3 et 80 10^8,6… et 80 10^8,6… >> 80

Exemple 5 On cherche à comparer avec un nombre voisin
Comparez: Méthode générale Effectivement:	5^21 >? 21^10 5^2,1 >? 21 5^2,1 > 21
La méthode générale marche bien. Celle présentée ici peut rendre des services dans certains cas particuliers. On cherche comment rapprocher les nombres. On prend un nombre: plus petit à gauche ou plus grand à droite. Ceci dans le but de ne pas changer l'inégalité supposée. Ici on va rapprocher 21 de 5 en prenant 25 (plus grand à droite)
Comparez: Rapprochement des nombres: Méthode générale: Manifestement: Vérification:	5^21 >? 25^10 5^21 >? 5^10 x 5^10 5^21 >? 5^20 5^21/20 >? 5 5^1,05 >? 5 5^1,05 > 5 5^21 4,8 … 10^14 21^5 1,7 … 10^13

Bilan

La méthode générale marche bien à tout coup à condition de disposer d'une calculette scientifique avec la fonction puissance (x^y). Par exemple, nous savons que 8⁵ = 32 768 et 181² = 32 761 avec un écart minime égal à 7. La méthode générale donne 8^5/2 = 181,019… > 181.

Sinon, pour un calcul de tête, il est possible d'employer des majorants pour lesquels la comparaison devient plus évidente.

Suite	Puissance de 2 Exposants - Exercices pratiques Unité des puissances Chiffres dans les puissances Écarts entre puissances
Voir	Exponentielles Exposants – Index Limites de la fonction puissance Logarithmes Puissances de 10 Théorie des nombres – Index Zéro et infini
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