NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/07/2010 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
		PARTITIONS
Débutants Général		MULTI SOMMES de PUISSANCES				Glossaire Général
Rubrique PARTITION	Qté:		2	3	4		Etc.
	Carrés		a² + b²	a^2 + b^2 + c^2	a²+b²+c²+d²		a²+b²+ … +k²
	Cubes		a^3 + b^3	a^3 + b^3 + c^3	a^3+b^3+ c^3+ d^3		a^3+b^3+ … +k^3
	Puissance n		a^n + b^n	a^n + b^n + c^n	a^n + b^n + c^n + d^n		a^n+b^n +...+k^n
	Théorie		Propriétés	Propriétés	Propriétés		Propriétés
	Sommaire de cette page >>> Dénombrement >>> Somme de 2 carrés pour les nombres de 1 à 15 >>> Propriétés >>> S'y retrouver

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Multi sommes de carrés - Propriétés

Certains nombres ne sont jamais une telle somme.

D’autres le sont une fois ou, même, plusieurs fois. 

Où on retrouve une fois de plus la constante .

DÉNOMBREMENT

Définition Fonction r(n) : donne la quantité de fois qu’il est possible de trouver le nombre comme somme de 2 carrés. Exemple 5 = 1² + 2² est une représentation de base de la partition de 5 en somme de deux carrés. Comptons les permutations possibles, y compris avec les nombres entiers négatifs au carré: 5 = ( +1 )² + ( +2 )² ( -1 )² ( +2 )² ( +1 )² ( -2 )² ( -1 )² ( -2 )² ( +2 )² ( +1 )² ( +2 )² ( -1 )² ( -2 )² ( +1 )² ( -2 )² ( -1 )² Nous dénombrons 8 configurations: 2 pour les nombres positifs et 4 fois plus du fait des signes: r(5) = 8 Quantité Pour chaque présentation de base (quel que soit l'ordre et le signe), produit de deux facteurs quantité de présentations selon l'ordre; et quantité de présentations selon le signe. Puis somme de tous ces produits r( 5) = 2 x 4 = 8 r(30) = 24 x 16 + 24 x 8 = 576 (voir théorème de Jacobi)

SOMME de deux CARRÉS pour les nombres de 1 À 15
n a² + b² Base r(n) 0 0² + 0² 1 1 1 0² + 1² 1 4 2 1² + 1² 1 4 3 0 0 4 0² + 2² 1 4 5 2² + 1² 1 8 6 0 0 7 0 0 8 2² + 2² 1 4 9 0² + 3² 1 4 10 1² + 3² 1 8 11 0 0 12 0 0 13 2² + 3² 1 8 14 0 0 15 0 0

PROPRIÉTÉS

Démonstration Trouvée par Gauss en 1800. Elle s’appuie sur le fait que x² + y² est l’équation d’un cercle (alors pas étonnant de retrouver ) La démonstration utilise la notion d'entiers de Gauss. On cherche la quantité de ces nombres à l’intérieur du cercle. La démonstration est un peu trapue. Son explication dépasse le niveau de ce site Valeur de r(n) r(n) = 0 Pour n = 4k +3. Soit : 3, 7, 11, 15, 19, 23 … r(n) = grand On peut trouver n tel que r(n) est aussi grand que l’on veut. Il existe des r(n) infini. Moyenne des r(n) = p En moyenne, un nombre n se décompose en p partitions de sommes de 2 carrés.

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Suite	Nombres sommes de carrés deux fois Théorème de Jacobi Somme de carrés Théorie sur la somme des carrés
Voir	Bi, tripartitions Calcul mental Géométrie Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres polygones Nombres triangles Partition Somme des inverses Somme multi puissantes Théorie des nombres Unité des puissances
Sites	Sites sur les sommes de puissances Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers - Jean-Charles Mérignac Equal Sums Of Like Powers - Chen Shuwen