NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/07/2010 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
		PARTITIONS
Débutants Général		MULTI SOMMES de PUISSANCES				Glossaire Général
Rubrique PARTITION	Qté:		2	3	4		Etc.
	Carrés		a² + b²	a^2 + b^2 + c^2	a²+b²+c²+d²		a²+b²+ … +k²
	Cubes		a^3 + b^3	a^3 + b^3 + c^3	a^3+b^3+ c^3+ d^3		a^3+b^3+ … +k^3
	Puissance n		a^n + b^n	a^n + b^n + c^n	a^n + b^n + c^n + d^n		a^n+b^n +...+k^n
	Théorie		Propriétés	Propriétés	Propriétés		Propriétés
	Sommaire de cette page >>> Théorème de Jacobi >>> N = 24 >>> N = 30 >>> N = 25 >>> N = 100 >>> N = 101 >>> N = 1 000 >>> S'y retrouver

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Multi SOMME de quatre CARRÉS

Propriétés

Théorème curieux qui relie

- la décomposition d’un nombre en somme de 4 carrés, et

- la somme de ses diviseurs.

Le plus bel exemple de deux sommes de puissances quatre

635 318 657

= 133^4 + 134^4 = 59^4 + 158^4

Deux fois somme de deux puissances quatre (4; 2, 2). Plus petit nombre possédant cette propriété. Découvert par Euler.

Pour une nomenclature de tous les problèmes posés par les sommes de puissances: Voir S'y retrouver

THÉORÈME DE JACOBI Carl Gustav Jacobi - 24 avril 1828
Théorème Soit n un nombre entier, S la somme de ses diviseurs et S’ la somme de ses diviseurs impairs. Soit C le nombre de représentations de n par une somme de 4 carrés. Alors, si n est impair : C = 8 S et si n est pair : C = 24 S’.

N = 24

Exemple avec n = 24 Calcul avec ce théorème n 24 Diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Diviseurs impairs 1, 3 S’ 4 C 24 x 4 = 96 Calcul classique (Voir dénombrement) 0² + 2² + 2² + 4² = 24 => 12fois pour l'ordre et 8 fois pour le signe = 96 Soit, 1 " partition réelle " pour 96 présentations diférentes. Du fait de la présence du 2² = 4 en double, le nombre de permutations est 12 et non 24. Voici le décompte: 0 4 4 16 0 4 16 4 0 16 4 4 4 0 4 16 4 0 16 4 4 4 0 16 4 4 16 0 4 16 0 4 4 16 4 0 16 0 4 4 16 4 0 4 16 4 4 0

N = 30
Exemple avec n = 30 Calcul avec ce théorème n 30 Diviseurs 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Diviseurs impairs 1, 3, 5, 15 S’ 24 C 24 x 24 = 576 Calcul classique 1² + 2² + 3² + 4² = 30 => 24 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 384 0² + 1² + 2² + 5² = 30 => 24 fois pour l'ordre et 8 fois pour le signe = 192 Soit un total de 576

N = 25
Exemple avec n = 25 Calcul avec ce théorème n 25 Diviseurs 1, 5, 25 Diviseurs impairs 1, 5, 25 S 31 C 8 x 31 = 248 Calcul classique 0² + 0² + 0² + 5² = 25 => 4 fois pour l'ordre et 2 fois pour le signe = 8 0² + 0² + 3² + 4² = 25 => 12 fois pour l'ordre et 4 fois pour le signe = 48 1² + 2² + 2² + 4² = 25 => 12 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 192 Soit un total de 248

N = 100

Exemple avec n = 100 Calcul avec ce théorème n 100 Diviseurs 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Diviseurs impairs 1, 5, 25 S' 31 C 24 x 31 = 744 Calcul classique 0² + 0² + 0² + 10² = 100=> 4 fois pour l'ordre et 2 fois pour le signe = 8 0² + 0² + 6² + 8² = 100 => 12 fois pour l'ordre et 4 fois pour le signe = 48 1² + 1² + 7² + 7² = 100 => 6 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 96 1² + 3² + 3² + 9² = 100 => 12 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 192 1² + 5² + 5² + 7² = 100 => 12 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 192 2² + 4² + 4² + 8² = 100 => 12 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 192 5² + 5² + 5² + 5² = 100 => 1 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 16 Soit un total de 744

N = 101

Exemple avec n = 101 Calcul avec ce théorème n 101 Diviseurs 1, 101 Diviseurs impairs 1, 101 S 102 C 8 x 102 = 816 Calcul classique 0² + 0² + 1² + 10² = 101=>12 fois pour l'ordre et 4 fois pour le signe = 48 0² + 1² + 6² + 8² = 101 => 24 fois pour l'ordre et 8 fois pour le signe = 192 0² + 2² + 4² + 9² = 101 => 24 fois pour l'ordre et 8 fois pour le signe = 192 0² + 4² + 6² + 7² = 101 => 24 fois pour l'ordre et 8 fois pour le signe = 192 2² + 5² + 6² + 6² = 101 => 12 fois pour l'ordre et 16 fois pour le signe = 192 Soit un total de 816

N = 1 000

Exemple avec n = 1 000 Calcul avec ce théorème n 1 000 Diviseurs 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 1000, 250, 500, 200 Diviseurs impairs 1, 5, 25, 125 S' 156 C 24 x 156 = 3 744 Calcul classique (Voir dénombrement) 17 partitions en sommes de deux carrés dont voici les nombres a b c d 0 0 10 30 0 0 18 26 0 6 8 30 0 10 18 24 2 4 14 28 2 8 16 26 2 14 20 20 2 16 16 22 4 4 22 22 4 10 10 28 4 10 20 22 6 6 12 28 6 8 18 24 6 12 12 26 8 8 14 26 8 14 16 22 10 10 20 20

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