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Introduction à la

Théorie des nombres

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

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Division

 

 

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Sommaire

Introduction

Valeurs

Quantité

Somme

Terminale

Produit

Comparaisons

Som-Prod

 

Sommaire de cette page

>>>  Quantité et produit

>>> Table des produits des diviseurs

 

 

 

 

PRODUIT des DIVISEURS

 

On connait la somme des diviseurs, fonction arithmétique important en théorie de nombres.

On s'intéresse ici au produit des diviseurs.

 

 

 

Diviseurs – Quantité et produit

 

Nombre considéré comme exemple

-         On notera tout de suite  que cette forme particulière n'est pas nécessaire pour la démonstration.

-         La formule que nous allons trouver est valable pour tout nombre.

 

 

 

n = 2a x 5b

 

 

n = Aa . Bb . Cc …

Forme de l'un des diviseurs

 

 

n divisé par ce diviseur donne un quotient e, qui lui aussi est bien un diviseur de n

-         les exposants de ce nouveau diviseur sont le complément pour atteindre l'exposant maximum du nombre considéré;

-         et, bien sûr, n est égal au produit des deux.

 

 

di = 2 i x 5 j

avec i valant {0, 1, 2 … a}

et      j valant {0, 1, 2 … b}

 

ei = 2 (a - i)   x   5 (b - j)

 

n =    di        .         ej

   =  2i x 5j    x     2(a-i) x 5(b-j)

 

Combien de diviseurs?

-         Pour le facteur 2, il y a {0,1, 2, 3, …, a}  soit a + 1 possibilités.

-         Même chose pour 5, soit b + 1 possibilités.

-         Le total des possibilités est le produit des deux.

 

 

Quantité de diviseurs

  = (a +  1) (b + 1)

 

Et en généralisant:

  = (a + 1) (b + 1)(c + 1) …

 

Exemple avec 60 = 2² x 3 x 5

             = (2+1) (1+1) (1+1) = 12

En effet les diviseurs sont

           {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

 

 

Avec chacun des diviseurs, il est possible de recomposer n en formant le produit de ce diviseur avec son complément. Il est alors possible de faire autant de tels produits qu'il existe de diviseurs.

 

n = 2 i x 5 j    x     2 (a - i) x 5 (b - j)

 

 produits de deux diviseurs "complémentaires" qui donnent n comme résultat

 

 

 

Que donne le PRODUIT de ces produits?

D'abord, nous venons de le voir, c'est N fois le nombre n

 

 

Produit = (d1 . e1) (d2 . e2) (d3 . e3) …

               =       n       .      n       .       n        …

Ce qui donne un produit formé de s fois le nombre n

 

Produit =

Ensuite, en observant chacun des deux facteurs,

-         on obtient pour tous ceux de gauche le produit des diviseurs.

-         et, surprise, pour tous ceux de droite, le produit des diviseurs également.

 

 

Produit = P  X  P  = P2

 

Il est temps de conclure en rapprochant les deux valeurs de Produit

 

Surprise c'est la formule qui donne simplement la valeur du produit des diviseurs.

Certes au carré: P²

 

 

 

Produit =    

 

 

Le carré du produit des diviseurs d'un nombre est égal au nombre lui-même élevé à la puissance de la quantité de ses diviseurs.

 

 

 

Remarquez!

 

 

Nous n'avons pas fait l'hypothèse sur les valeurs des facteurs 2 et 5.

 

 

Cette formule est générale.

 

Exemple avec n = 4 = 2²

 = 3   

P² = 43= 64

P = 8

 

Exemple avec n = 60

 = 12

P² = 60 12

P = 60 6 = 46 656 000 000

 

Exemple avec n = 500 = 22 x 53

 = (2+1) (3+1) = 12

P² = 500 12

P = 500 6 = 1,5625 10 16

 

 

 

Table des produits des diviseurs

 

Produit des diviseurs

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

[1, 1, 2, 3, 8, 5, 36, 7, 64, 27]

[10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]

[100, 11, 1728, 13, 196, 225, 1024, 17, 5832, 19]

[20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]

[8000, 441, 484, 23, 331776, 125, 676, 729, 21952, 29]

[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]

[810000, 31, 32768, 1089, 1156, 1225, 10077696, 37, 1444, 1521]

[40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49]

[2560000, 41, 3111696, 43, 85184, 91125, 2116, 47, 254803968, 343]

[50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59]

[125000, 2601, 140608, 53, 8503056, 3025, 9834496, 3249, 3364, 59]

[60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69]

[46656000000, 61, 3844, 250047, 2097152, 4225, 18974736, 67, 314432, 4761]

[70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79]

[24010000, 71, 139314069504, 73, 5476, 421875, 438976, 5929, 37015056, 79]

[80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89]

[3276800000, 59049, 6724, 83, 351298031616, 7225, 7396, 7569, 59969536, 89]

[90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99]

[531441000000, 8281, 778688, 8649, 8836, 9025, 782757789696, 97, 941192, 970299]

 

Exemple de lecture: le produit des diviseurs de 99  est 970 299 = 1 x 3 x 9 x11 x 33 x 99

 

Liste des carrés:

[[6, 36], [8, 64], [10, 100], [14, 196], [15, 225], [16, 1024], [21, 441], [22, 484], [24, 331776], [26, 676], [27, 729], [30, 810000], [33, 1089], [34, 1156], [35, 1225], [38, 1444], [39, 1521], [40, 2560000], [42, 3111696], [46, 2116], [51, 2601], [54, 8503056], [55, 3025], [56, 9834496], [57, 3249], [58, 3364], [60, 46656000000], [62, 3844], [65, 4225], [66, 18974736], [69, 4761], [70, 24010000], [72, 139314069504], [74, 5476], [77, 5929], [78, 37015056], [81, 59049], [82, 6724], [84, 351298031616], [85, 7225], [86, 7396], [87, 7569], [88, 59969536], [90, 531441000000], [91, 8281], [93, 8649], [94, 8836], [95, 9025], [96, 782757789696], …]

 

Produit des diviseurs propres (tous les diviseurs de n sauf n)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

[1, 1, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 8, 3]

[10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]

[10, 1, 144, 1, 14, 15, 64, 1, 324, 1]

[20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]

[400, 21, 22, 1, 13824, 5, 26, 27, 784, 1]

[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]

[27000, 1, 1024, 33, 34, 35, 279936, 1, 38, 39]

[40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49]

[64000, 1, 74088, 1, 1936, 2025, 46, 1, 5308416, 7]

[50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59]

[2500, 51, 2704, 1, 157464, 55, 175616, 57, 58, 1]

[60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69]

[777600000, 1, 62, 3969, 32768, 65, 287496, 1, 4624, 69]

[70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79]

[343000, 1, 1934917632, 1, 74, 5625, 5776, 77, 474552, 1]

[80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89]

[40960000, 729, 82, 1, 4182119424, 85, 86, 87, 681472, 1]

[90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99]

[5904900000, 91, 8464, 93, 94, 95, 8153726976, 1, 9604, 9801]

 

Liste des nombres dont le produit des diviseurs propres est une puissance 4

48, 80, 112, 162, 176, 180, 208, 252, 256, 272, 288, 300, 304, 368, 396, 405, 450, 464, 468, 496, 512, 567, 588, 592, 612, 656, 684, 688, 700, 752, 768, 800, 828, 848, 882, 891, 944, 972, 976, 980 …

 

Voir Tables – Index

 

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Suite

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*         Nombres composés, hautement composés, etc.

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*         Diviseurs

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*         Théorie des nombres – Index

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