NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Résolution

Formules

Hauteur

Aire (Héron)

Hypoténuse

Longueur de corde

Projection

T 13 14 15

Triangle Rectangle – Cas classiques

Triangle Rectangle – Cas spéciaux

 

Sommaire de cette page

>>> Construction – Hypoténuse et hauteur

>>> Calculs – Hypoténuse et hauteur

>>> Calculs – Hypoténuse et périmètre

>>> Calculs – Aire et périmètre

 

 

 

 

TRIANGLES RECTANGLES

Résolution de cas spéciaux

Hauteur, aire, périmètre

 

La résolution du triangle rectangle dans les cas classiques est relativement simple. On trouvera la résolution du triangle rectangle comme cas particulier du triangle quelconque en index de résolution du triangle.

Ici, on aborde les cas plus complexes où on ne connait que l'hypoténuse et la hauteur correspondante ou encore le périmètre et l'aire.  L'équation du deuxième degré va venir à notre secours.

 

 

Construction – Hypoténuse et hauteur

 

But

Construire un triangle rectangle dont on connait la longueur de l'hypoténuse (BC) et celle de la hauteur (AH).

 

Construction

*    Construire le segment BC.

*    Construire un segment perpendiculaire à BC de longueur AH (n'importe où).

*    Perpendiculaire en A à AH

*    Cercle de diamètre BC. Intersections M et N

*    Les triangles BMC et BNC sont les triangles rectangles recherchés.

 

 

Calculs – Hypoténuse et hauteur

 

But

Calculer la longueur des côtés connaissant la longueur de l'hypoténuse (c) et celle de la hauteur (h).

 

Remarque

Avec c et h, on connait l'aire du triangle rectangle: A = 1/2 ch = 1/2 ab

 

 

Calculs

Avec le théorème de Pythagore:

c² = a² + b²

b² = c² – a²

Avec l'aire:

A = 1/2 ab

4A² = a² b²

En éliminant b:

4A² = a² (c² – a²)

Sous forme d'équation (c et A sont connus):

a4 – c²a² + 4A² = 0

 

Exemple numérique

c = 8 et h = 2 => A = 8

On pose x = a²

 

x² – 64x + 256 = 0

Les solutions, confirmées par construction avec GeoGebra:

a = 2,07055 …  & b = 7, 7274 …

Voir Longueur d'une corde entre deux triangles rectangles

 

 

Calculs – Hypoténuse et périmètre

 

Avec les mêmes notations.

p et c sont connus.

 

p = a + b + c

b = (p – c) – a  = k – a

En reprenant la relation de Pythagore:

c² = a² + (k – a)² = 2a² – 2 ka + k²

Équation (k et c sont connus):

2a² – 2 ka + k² – c² = 0

Longueur de l'autre côté:

b = p – c – a

Il se trouve que c'est aussi la seconde solution de l'équation.

 

Exemple numérique

c = 8 et p = 17,7979 => k = p – c = 9,7979

 

2a² – 19,6a + 9,8² – 8² = 0

Solutions:

b = 7,7274… et  a = 2,0705…

 

Calculs – Aire et périmètre

 

Avec les mêmes notations.

A et p sont connus.

 

c² = a² + b²

A = 1/2ab => 4A = 2ab

 

Identification de carrés:

 

a² + b² + 2ab = (a + b)² = c² + 4A

a² + b² – 2ab = (a – b)² = c² – 4A

 

Avec le périmètre:

 

a + b = p – c

(a + b)² = c² + 4A = (p – c)²

En équation, c est l'inconnue:

 

2pc – p² + 4A = 0

On connait alors l'hypoténuse et le périmètre:

Voir le cas précédent pour calculer a et b.

 

Exemple numérique

A = 8 et p = 17,7979

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle rectangle

*    Triangles – Formules 

*    Triangle – Résolution

*    Rayon du cercle inscrit

Voir

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

Sites

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/ResTRect.htm