NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Général

Propriétés

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Cercle

Propriétés

Équations

Théorèmes

Fondements

Angles

Partage

Sécante

Tangente

Sécantes et tangentes

Tangentes et corde soulevée

Arcs, cordes et sagittas

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Construction de la tangente

>>> Construction du cercle tangent

>>> Tangente à partir d'un point

>>> Tangente à deux cercles

 

 

 

 

Tangente du cercle

 

Une courbe et un point. Il existe une infinité de sécantes passant par le point. Laquelle est la plus proche de la courbe ? Il n'y en a qu'une, la tangente. Elle touche la courbe sans la couper.

Apollonius de Perge est connu pour ses travaux sur les coniques. Mais, il résout aussi le problème des tangentes en imaginant de nombreuses constructions géométriques.

Newton et Leibniz vont revenir sur ces problèmes deux mille ans plus tard avec le calcul infinitésimal ou calcul différentiel. Calculs qui décrivent les courbes par l'étude des variations des fonctions associées.

 

Définition et constructions des tangentes du cercle.

 

 

 

 

Approche

 

Tangente à une courbe

Position limite*  d'une sécante telle que les deux points d'intersection A et B tendent à se confondre.

* lorsqu'elle existe

Voir Courbure

 

 

 

Tangente à un cercle

Même définition.

 

 

Propriété

Le rayon aboutissant au point de tangence est perpendiculaire à la tangente.

 

Voir Dérivée / Calcul infinitésimal / Vitesse

 

 

Construction de la tangente

On donne le cercle de centre O et un point A sur le cercle.

 

Construction

1.    Tracer la demi-droite OT

2.    Perpendiculaire en T à OT. C'est la tangente.

Avec construction de la perpendiculaire

1.    Tracer la demi-droite OT

2.    Cercle (T, TO). Intersection O'.

3.    Cercles (O, OO') et (O', OO'). Intersections A et B

4.    Droite AB. C'est la tangente.

 

 

 

 

      Construction du cercle tangent

Construire le cercle tangent à la droite D et passant par B.

 

Construction 1

1.    Tracer le segment AB

2.    Perpendiculaire en C à la droite D.

3.    Médiatrice de AB.  Intersection C.

4.    Cercle (C, CA). Il est tangent en A à la droite D.

 

Construction 2 (semblable à la 1)

1.    Perpendiculaire en C à la droite D.

2.    Cercle (A, AB) et cercle (B, AB). Intersections E et F.

3.    Segment EF. Intersection C avec la perpendiculaire.

4.    Cercle (C, CA). Il est tangent en A à la droite D.

 

 

Anglais: construct a circle  through the point B that is tangent to the given line at point A.

 

Tangente à partir d'un point

But

Construire la tangente au cercle bleu à partir du point D.

 

Construction

Point E milieu de AD.

Cercle (E, EA).

Intersections F et G. Ce sont les points de tangence.

 

Commentaires

Le triangle DFA, inscrit dans un demi-cercle et rectangle. AF est bien perpendiculaire à DF.

 

 

 

Tangente à deux cercles

 

But

Construire les tangentes externes aux  deux cercles bleus.

 

Construction

Point E quelconque sur un des cercles.

Droite parallèle à  AE en C. Point F.

Droite EF. Point G.

Point H milieu de GA

Cercle (H, HA). Point I et J.

Droites GI et GJ, les tangentes aux deux cercles.

 

Même principe pour les tangentes internes

 

Commentaires

Avec les parallèles AE et CF, les triangles GAE et GCF sont semblables. Ils le resteraient si on plaçait le point E en I.

Le point G est le point de départ de la tangente aux deux cercles.

Il suffit donc de tracer la tangente au premier cercle à partir de G.

 

 

 

Deuxième méthode via un cercle intermédiaire

Cercle rose de centre A et de rayon la différence des rayons des cercles (FE = rayon du cercle en C).

Construction de la tangente CH au cercle rose à partir du centre C de l'autre cercle (comme ci-dessus).

Perpendiculaire en C à cette tangente. Point J.

Droite en J parallèle à la tangente verte. C'est la tangente commune au deux cercles.

 

 

 

 

 

Suite

*  Fonction tangente

*  Sécante dans le cercle

*  Tangentes et sécantes dans les cercles

Voir

*  Cercle – Équations

*  Cercle – Fondements

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Site

*  Une histoire du calcul différentiel, de la dérivation et des tangentes – Math93.com

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Tangente.htm