NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Corde enroulée tendue autour d'un cercle

La longueur de la corde est légèrement supérieure au périmètre. Trois possibilités.

La corde crée un cercle concentrique. Quelle est l'augmentation du rayon ?

La corde crée un nouveau cercle tangent au premier. Quelle est l'écart maximum entre les deux cercles ?

La corde est soulevée en un point: forme du chapeau conique de clown. Quelle est la hauteur maximale ?

Le premier cas correspond à un paradoxe classique, expliqué sur la page périmètre du cercle.

Le deuxième cas se déduit du premier: la hauteur est doublée.

Le troisième cas est très inattendu du fait la hauteur atteinte. Le calcul formel est assez simple. Les applications numériques sont plus délicates.

Anglais: Rope aroud the earth riddle

Exemples typiques

Nom	CONCENTRIQUE	TANGENT	CHAPEAU de CLOWN
Illustration E est l'allongement de la corde (rouge – bleu)
CERCLE R = 10 cm E = 7 cm	1,12 cm	2,25 cm	6 cm
TERRE R = 6 400 km E = 1 m	0,16 m	0,32 m	121 m

Pour h très petit devant R

La corde en chapeau de clown – Formulation

Problème

Une corde est tendue autour d'un cercle.

Cette corde est allongée et, elle est soulevée en un point. Quelle est la hauteur maximale de ce point.

Solution (Illustration du haut)

La corde allongée dessine le contour d'un grand cercle jusqu'aux deux points de tangence (AEB). Elle est prolongée par les deux segments de tangence (ADB).

Différence de longueur: E = VERT – Pointillé BLEU. C'est l'allongement de la corde.

Le tableau ci-dessous présente la mise en équation. Pas de difficulté particulière. La colonne de droite permet la vérification de la formulation selon les valeurs indiquées sur la figure.

La résolution de l'équation pour trouver "d" a été réalisée par logiciel.

Formulation

Résolution par logiciel (Maple)

But Calculer successivement les valeurs de d et de h avec un rayon de 10 cm et un allongement de la corde de 7 cm. Commentaires Initialisation. Équation à résoudre mémorisée en A. Résolution de cette équation en d qui produit deux valeurs complexes et une valeur réelle. Celle-ci est en dernier (accessible avec l'indice – 1). Calcul de h Résultats (en bleu) Les trois racines exprimant d. Les valeurs de d et h Sur un cercle de rayon 10 cm, un allongement de 7 cm permet de soulever la corde de 6 cm.

Illustration avec mesures

Table pour R = 10 E = allongement de la corde d = longueur du segment de tangente h = hauteur de soulèvement de la corde

Résolution par calcul approché (Petit angle)
Approximation de l'angle alpha Nous avons vu que l'équation à résoudre est "compliquée". Tout tient à l'évaluation de l'angle alpha. Or, lorsque l'angle est petit, sa tangente est proche de sa valeur en radians. Cela ne suffit pas. Un développement en série est nécessaire. On se limitera au terme du troisième degré.
Formulation

Méthode approchée avec expression de h
Principe Ce calcul produit une formule approchée pour la hauteur h. Elle est un peu plus subtile que la précédente. Elle recourt aussi aux développements en série. Calcul de l'angle Calcul de la hauteur	Développées Figure pour calcul de l'angle Figure pour calcul de la hauteur Application numérique

Voir Brève 728

Bilan

Le paradoxe de la corde tendue est surprenant. Celui de la corde soulevée l'est encore plus. En effet, la hauteur atteinte par la corde soulevée défie l'intuition.

Le calcul formel est délicat sans logiciel mathématique (Maple).

Lorsque l'angle alpha est petit une approximation est possible et le calcul est direct.

Lorsque l'angle est grand, l'approximation n'est plus valable et ajouter des termes au développement conduit à des équations à nouveau délicates à résoudre. Une construction avec GeoGebra permet d'atteindre une solution géométriquement sûre.

Suite	Tangente Fonction tangente Sécante dans le cercle Tangentes et sécantes dans les cercles
Voir	Cercle – Équations Cercle – Fondements Cercle – Index Géométrie – Index
Site	Une corde autour de la Terre – Claus Johansen
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Tgcorde.htm