NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Construction de deux cordes égales

>>> Problème de calcul de longueurs

>>> Méthode avec géométrie et algèbre

>>> Méthode analytique

 

 

 

Sécantes et cordes

dans le cercle

Calculs

 

Sur cette page, à partir d'une figure relativement simple, une question de calcul de longueur qui donne du fil à retordre !

Une des méthodes de résolution fait appel au théorème des cordes sécantes: u · v = x · y   (Illustration =>)

 

 

 

Construction de deux cordes égales

 

Problème

Deux cercles sécants en D.

Construire une sécante en D découpant deux cordes de même longueur.

 

Construction

Milieu B de AB, segment joignant les deux centres.

Demi-droite BD.

Perpendiculaire en D à BD.

Intersections E et F.

ED = DF.

 

Explications

Les trois parallèles AG, BD et CH découpent sur GH la même proportion 1/2 que sur AC.

GD = DH

Toutes les parallèles sont perpendiculaires à EF.

Les cordes ED et DF sont coupées en leur mileu.

GD = DH  = > ED = DF.

 

Voir Brève 880

 

 

 

Problème de calcul de longueurs

 

Figure

Sur cette figure, le point C est le milieu du segment OB. On prend OA = R = 10.

 

Question

Longueur de CF, DC, CE et JK ?

 

Longueur de CF

Ce segment est la diagonale du rectangle OCDF dont l'une des diagonales (OD) est un rayon: CF = R = 10.

 

Longueur de DC

Théorème de Pythagore: CD² = CF² – FD²

 

Longueur de CE

Longueur de JK

 

Je propose deux solutions:

*    méthode géométrico-algébrique utilisant le théorème des cordes sécantes, et

*     méthode de calcul analytique.

 

Suivi sur la figure

Mon astuce pour suivre les explications sur la figure consiste à recopier la figure ci-dessus dans un autre document ou mieux de le copier avec l'outil de capture.

 

 

Méthode avec géométrie et algèbre

Corde JK

 

a = JF

b = CK

L = JK

FC = R = 10

 

Longueur de la corde:
JK = L =  a + 10 + b

 

Application du théorème des cordes sécantes à JK et ED:
JF · FK = EF · FD
JF · (FC + CK) = EF · FD
a (10 + b) = R/2 · R/2 = 25
10a + ab = 25

 

Application du théorème des cordes sécantes à JK et DH:
JC · CK = DC · CH
(JF + FC) · CK = DC · CH

10b + ab = 75

Système d'équations

Avec différence des deux dernières


10b – 10a = 75 – 25
b = a + 5

La deuxième: valeur de a


10a + a (a + 5) = 25
a² +15a – 25 = 0
Racine positive:
avec: b² - 4ac = 125 + 100 = 325 = 5² x 13

Valeur de b

Longueur de JK = L


Voir Équations avec somme et produit  / Astuce de calcul avec somme et produit

 

 

 

Méthode analytique

Équation du cercle

y² + x² = 100

Équation de la droite CF

Intersection cercle et droite

Calcul un peu fastidieux qui donne les solutions indiquées.

(Vive les logiciels de maths !)

Longueur de JK

 

 

 

 

 

Suite

*  Tangente

Voir

*  Cercle – Équations

*  Cercle – Fondements

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Secante.htm