NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

Inscrit

SANGAKUS

Deux cercles – Triangle

Introduction

Inscrit (suite)

Jumeaux

Deux cercles – Carré

Puissance

Circonscrit

Carré max

Trois cercles – Construction 

Exinscrits

Face à face

Trois cercles – Tr. Équilatéraux

Quatre cercles – Construction 

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème du face à face

>>> Démonstration

>>> Variante 1

>>> Variante 2

>>> Avec trois cercles

>>> Généralisation  

 

 

 

 

Les deux cercles en face à face

Eyeball theorem

Deux cercles quelconques et leurs tangentes issues du centre de chacun. Les cordes interceptées sont égales (isométriques).

 

 

 

Théorème du face à face

Deux cercles quelconques. Les tangentes issues du centre des cercles.

Les cordes (roses) sont égales.

 

La figure ressemble à deux yeux qui se font face. D'où le nom en anglais: eyeball theorem, pour théorème des globes oculaires ou théorème des quinquets.  

 

 

 

Démonstration

Du côté du cercle de gauche

Les tangentes sont symétriques par rapport à AB.

S sur AB est le milieu de EF.

Triangle ASE: rectangle

Triangles ASE et APB rectangles et l'angle en A est commun: ils sont semblables.

 

 

 

 

Même chose à droite

R sur AB est le milieu de HG.

Triangle BRH: rectangle

Triangles BRH et BMA rectangles et l'angle en B est commun: ils sont semblables.

Note: les droites EF et HG sont perpendiculaires à AB, elles son parallèles.

 

 

 

 

 

Conclusion

Les cordes sont égales

 

 

 

 

 

En cas de tangence

Si les deux cercles sont tangents, alors AB = R + r

 

Moyenne harmonique des rayons

 

 

Théorème

Deux cercles et les tangentes issues du centre du cercle opposé. Les cordes interceptées par les tangentes sont égales et parallèles. Ce sont les côtés d'un rectangle.

   

Le quadrilatère EFGH est un rectangle.

Du fait des triangles rectangles avec même hypoténuse, les quatre points de tangence et les deux centres sont cocycliques.

 

 

Variante 1

 

Description

Deux cercles bleus (A) et (B). Les tangentes (vertes) issues des centres.

Segments rejoignant les intersections deux à deux: GF, DE, GE et DF.

Prolongés et intersections avec les deux cercles: H, I, J, K.

 

 

Théorème

Les cordes découpées sur les cercles forment deux fois quatre segments égaux.

 

KG = FJ = HD = EI

GP = ME = DL = NF

 

 

Variante 2

 

Description

Deux cercles bleus. Les tangentes (vertes) issues des points les plus éloignés (en non plus les centres).

 

Théorème

Les cercles inscrits (tangent au cercle et aux droites tangentes) sont isométriques.)

  

Les deux cercles roses sont identiques.

 

 

 

Avec trois cercles

 

Description

Deux cercles bleus (A) et (B), tangents en C. Un cercle (C) rose, de rayon quelconque inférieur à AC et BC.

Les quatre tangentes (vertes) issues du centre du cercle opposé. Intersections J, U, R, Q, I, S, T, P.

 

Théorème

Les trois quadrilatères sont des rectangles alignés (J, U R, Q sont alignés).

Les droites JQ et IP sont tangentes au cercle (C).

 

Généralisation 3D

Les deux cercles rouges sont congruents

 

 

 

 

Suite

*      Sangakus

*      Rayon du cercle circonscrit

*      Cercle inscrit

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

Voir

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*    Sphère

Sites

*      Le théorème Eyeball – M@yhs et tiques

*       The Eyeball Theorem – Cut-the-Knot – Six démonstrations et quantité de variations sur ce théorème

*      Praying Eyes Theorem – Cut-the-Knot

*       Eyeball Theorem – Wolfram MathWorld

*       An Eye on Eyeball – Prithwijit  De

*       The Eyeball Theorem generalized – mathoverflow

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/FaceFace.htm