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Édition du: 12/10/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres

 

 

Nombres CUBES

Cubes – Partition

Deux cubes

Trois cubes

Quatre cubes

Somme = Carré

Deux cubes – Multi

 

 

SOMMES de DEUX CUBES

n = x3 + y3

 

Sommes de nombres entiers au cube et aussi sommes de rationnels (fractions).

Sans ordinateur, Dudeney avait trouvé des solutions en nombres rationnels pour le nombre 9 et pour le nombre 17:

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes de deux cubes – Nombres entiers

>>> Les défis de Dudeney

>>> Identité de Fermat

>>> Géométrie analytique

>>> Sommes de deux cubes – Nombres rationnels

  

Débutants

Addition

 

Glossaire

Addition

 

 

Somme de deux cubes – Nombres entiers

haut

 

Les 42 nombres, somme de deux cubes jusqu'à n = 1001

Lecture: 9 = 13 + 23 = 1 + 8 ; 35 = 23 + 33 = 8 + 27. 

 

Les 202 nombres, somme de deux cubes jusqu'à n = 10 000

 

2, 9, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91, 126, 128, 133, 152, 189, 217, 224, 243, 250, 280, 341, 344, 351, 370, 407, 432, 468, 513, 520, 539, 559, 576, 637, 686, 728, 730, 737, 756, 793, 854, 855, 945, 1001, 1008, 1024, 1027, 1064, 1072, 1125, 1216, 1241, 1332, 1339, 1343, 1358, 1395, 1456, 1458, 1512, 1547, 1674, 1729, 1736, 1755, 1792, 1843, 1853, 1944, 2000, 2060, 2071, 2198, 2205, 2224, 2240, 2261, 2322, 2331, 2413, 2457, 2540, 2662, 2709, 2728, 2745, 2752, 2771, 2808, 2869, 2926, 2960, 3059, 3087, 3197, 3256, 3376, 3383, 3402, 3439, 3456, 3473, 3500, 3528, 3591, 3718, 3744, 3887, 3925, 4075, 4097, 4104, 4123, 4160, 4221, 4312, 4375, 4394, 4439, 4472, 4608, 4706, 4825, 4914, 4921, 4940, 4941, 4977, 5038, 5096, 5103, 5129, 5256, 5425, 5427, 5488, 5572, 5642, 5824, 5833, 5840, 5859, 5896, 5913, 5957, 6048, 6119, 6175, 6244, 6293, 6344, 6561, 6641, 6750, 6832, 6840, 6860, 6867, 6886, 6923, 6984, 7075, 7110, 7163, 7202, 7371, 7471, 7560, 7588, 7657, 7859, 8001, 8008, 8027, 8029, 8064, 8125, 8190, 8192, 8216, 8288, 8343, 8512, 8576, 8587, 8729, 9000, 9009, 9056, 9207, 9262, 9269, 9288, 9325, 9331, 9386, 9477, 9603, 9604, 9728, 9773, 9826, 9928, 9990.

 

En autorisant les nombres négatifs, toutes les solutions jusqu'à 100

 

 

 

 

Les défis de Dudeney

haut

 

 

 

Henry Ernest Dudeney (1857-1930)   propose ces deux problèmes dans The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems.

 

Sans ordinateur, on se demande comment il a pu calculer ces valeurs.

 

Voir Énigme des trois maisons / Nombres de Dudeney

 

"It is hard nut, and should only be attempted by those who flatter themselves that they possess strong intellectual teeth".

 

 

Puzzle du cube d'argent

Il demande les dimensions de deux cubes d'argent dont le volume total est 17 pouces-cube.

Il faut trouver une paire de nombres rationnels tels que la somme de leur cube soit 17.

 

Puzzle du Docteur en physique

Il demande les rayons de deux sphères dont le volume total est égal à celui de deux sphères de rayon 1 et 2 pouces.

Il faut résoudre: x3 + y3 = 13 + 23 = 9

 

 

 

Méthodes

Il existe au moins trois méthodes pour trouver de telles sommes.

 

 

1.    Recherche exhaustive par ordinateur (ou par force brute);

2.    Utilisation de la géométrie analytique: trouver un point rationnel sur une courbe; ou

3.    Partir d'une solution connue et trouver de nouvelles solutions à l'aide d'identités

 

Source: The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems (1908) – Pages 19

 

 

Identité de Fermat

haut

 

Fermat propose une identité qui permet de trouver une somme algébrique de deux cubes à partir d'une somme connue. 

 

 

Exemple avec 9 = 23 + 13

 

Le doublet (2, 1) permet de créer le doublet (20, -17), avec nombre négatif.

 

(a3 + b3) (a3 – b3)3 = [2 · (23 + 2·13) ]3 – [1 · (2·23 + 13) ]3

9 · 73 = 203 – 173

 

Effectivement: 203 – 173 = 8 000 = 4 913 = 3087 = 9 · 73

Soit deux nouveaux cubes: 20 et 17.

Autrement dit:

 

 

Nouvelles itérations

Pour tenter de trouver une solution à deux nombres positifs.

 

Les calculs faits, on trouve cette nouvelle somme pour 9:

   

 

Encore une

Enfin positive !

Dudeney connaissait l'identité de Fermat et avait trouvé ce résultat.

 

 

 

Dudeney n'en est pas resté là, il voulait plus petit.

 

Sans doute à partir cette identité négative, il a calculé la positive.

 

 

 

 

 

Géométrie analytique

haut

 

L'idée consiste à représenter la courbe x3 + y3  = 9, par exemple (Tracé avec GeoGebra).

 

Le point (x, y) = (1, 2) est connu. Les tangentes à la courbe passant par ce point coupent la courbe en deux points.

On vérifie que les coordonnées de ces points répondent à l'identité: la somme de leurs cubes vaut 9.

 

La suite du raisonnement fait appel aux propriétés des courbes elliptiques.

Le mathématicien Eugenia Rosu propose la formule:

Voir Articles spécialisés en référence

 

 

 

 

Sommes de deux cubes – Nombres rationnels

haut

Nombres somme de deux nombres rationnels

Chacun une infinité de fois.

Sont exclus les cubes et deux fois les cubes.

 

Liste des nombres somme de deux cubes rationnels

6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50, 51, 53, 56, 58, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 94, 96, 97, 98, 103, 104, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 120, 123, 124, 

  

Quelques exemples pour n jusqu'à 100

 

  



 

Quelques solutions explicitées

Lecture

 

Autres solutions par Andy Pepperdine

 

Merci à Guy HEKIMIAN pour sa relecture attentive

Haut de page

 

 

Suite

*      Nombres cubes

*      Partitions en cubes – Exemples

*      Nombres sommes de deux cubes

*      Somme de deux cubes rationnels

Voir

*      Conjecture d'Euler

*      Théorème de Fermat-Willes

*      Triplets de Pythagore

*      ConjectureGlossaire

*      EulerBiographie

*      Différence de carrés

*      Pépites

*      Pythagore et Fermat

*      Tables de nombres

DicoNombre

*       Nombre 6 / Nombre 7 / Nombre 9 / Nombre 12 / Nombre 13 / Nombre 15 / Nombre 17 / Nombre 19 / Nombre 20 / Nombre 22 / Nombre 26 / Nombre 28 / Nombre 30 / Nombre 33 / Nombre 37 / Nombre 43 / Nombre 48 / Nombre 62 / Nombre 70 / Nombre 89

Sites

*      OEIS A003325 - Numbers that are the sum of 2 positive cubes

*      OEIS A004999 - Sums of two nonnegative cubes

*      OEIS A228499 - Sums of two rational cubes, excluding cubes and twice cubes

*      Integral Sum of Two Rational Cubes – Andy Pepperdine – 2020

*      Integers that can be written as the sum of two rational cubes** – Eugenia Rosu – Article très théorique

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