NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/01/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Valeur évidente >>> Fonction et son comportement >>> Conclusion >>> Un peu plus sur 1^infini

1^INFINI

La valeur de 1 à la puissance infinie semble évidente

Et pourtant, elle donne du fil à retordre …

En fait:

est indéterminé

En version complexe: la part réelle et la part imaginaires sont indéterminées. Mais le module est égal à 1.

Voir Zéro, un et infini

VALEUR évidente
En bonne logique, on multiplie 1 par 1 aussi longtemps que l'on veut, et le produit reste toujours égal à 1. Est-ce valable jusqu'à l'infini? Ce serait sans compter avec la rigueur des mathématiciens qui y regardent à deux fois.	1 x 1 = 1 1 x 1 x 1 = 1 1 x 1 x … x 1 = 1 1 x 1 x … = ?
Leur démarche est assez simple dans son principe: Est-ce que je peux imaginer une expression (une fonction) proche de celle étudiée? Comment évolue cette fonction lorsque l'on se dirige vers l'infini?	Il nous faut une fonction proche de 1; alors 1 plus un chouia? Pourquoi pas? Comment se comporte cette fonction à la puissance infinie ? Sachant que lorsque x tend vers 0, l'expression est celle qui nous occupe.
La variable est x qui tend vers zéro. Il nous faut exprimer la puissance qui tend vers l'infini avec une fonction qui tend vers l'infini quand x tend vers 0. La plus simple est 1/x.	Comment se comporte cette fonction lorsque x tend vers 0 ?

Comportement de notre fonction
Pas facile de manipuler une telle fonction. Ayons recours à son logarithme.
Puis à la dérivée du numérateur et du dénominateur pour étudie la vitesse de variation de chacun (règle de l'Hôpital). Lequel va varier le plus vite? Simple, car nous trouvons une fraction simple dont la limite est 1 lorsque x tend vers 0. La limite est 1, alors ! Hoops! Non, car nous sommes encore dans le monde des logarithmes. Il nous faut revenir au monde normal.
Valeur de L sachant que son logarithme est 1?	ln L = 1 L = e
Vérification: le calcul montre que cette fonction converge bien vers la valeur de e.	X f(x) 1/10 2,5 1/100 2,70 1/1000 2,716 1/10000 2,7181 1/100000 2,71826 e = 2,718281828

Voir Explications complémentaires

Conclusion
De manière évidente nous avons trouvez que L vaut 1. Mais aussi, de manière plus tordue, certes, que la limite vaut e. En cherchant la limite d'autres fonctions, il est possible de trouver d'autres valeurs …	1 x 1 x … x 1 = 1 Indéterminé Note: les logiciels de calcul donnent cependant la valeur 1. > limit(1^x,x=infinity); 1

Comparaison?

Imaginez un marteau en équilibre sur la pointe d'un tournevis.

Théoriquement l'équilibre est faisable. Il "suffit" que le centre de gravité du marteau soit juste à la verticale du point de contact du tournevis. On a beau pencher le marteau progressivement vers la position d'équilibre, il tombe toujours. L'équilibre dans cette position est pratiquement irréalisable!

Le produit en 1 serait l'équilibre parfait. Mais la moindre approche par les côtés donne d'autres valeurs " instables".

Un peu plus sur 1^infini
Intervalle	Valeur	Exemple x petit	Exemple x grand
0 < x < 1		0,1^100 = 10^– 100 0,1^– 100 = 10^100	0,9^100 = 0,000026… 0,9^– 100 = 37 648, 6…
1 < x <		2^100 = 1, 26… 10^30 2^– 100 = 7,888…10^– 31	100^100 = 100^200 100^– 100 = 10^– 200
x = 1	= indéterminé = indéterminé	La part réelle et la part imaginaires sont indéterminées. Mais le module est égal à 1.
À partir de cette valeur =>
Portée à la puissance infinie		Ces deux valeurs, en cosinus et sinus d'un angle infini, sont indéterminées. En effet, impossible de fixer un point sur le cercle trigonométrique correspondant à un angle infini.
Calcul du module

Suite	Polynômes Zéro, un et infini
Voir	Limite – Glossaire Dérivées
Aussi	DicoMot Débutants
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