NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 17/05/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

   ANALYSE

 

Débutants

Général

LIMITES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Théorie des nombres

Définition

Classique

1 / x, 1 / x² …

UnInfini

Dérivées

Polynôme

Hôpital

x . ln (x)

Limite avec ln

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> ln (x) / x 

>>> x . ln(x)

 

 

 

 

 

Limites en ln(x)

 

Deux théorèmes l'un découlant de l'autre. Mais la démonstration du  premier a nécessité un peu de perspicacité mathématique.

Voir Logarithmes

 

 

 

 

ln(x)/x

Théorème

Démonstration

Pas possible directement

On passe par cette fonction qui est définie de 1 à l'infini.

Pour x = 1:

 = -2

La dérivée:

 

On note que x > 1 => f'(x) < 0

La fonction:

La fonction part de -2 et décroît

 

 

Conséquence:

Division possible car x est positif; en fait toutes les entités sont positives.

Pour x = 1:

En regroupant pour x à partir de 1:

Pour x tendant vers l'infini

Théorème du gendarme ou théorème de l'encadrement

La limite d'une fonction, encadrée par deux fonctions de même  limite L, a pour limite L.

Conclusion

Notre fonction tend bien vers 0 pour x tendant vers l'infini.

 

Graphe de ln(x) / x

 

 

x. ln(x)

Théorème

Démonstration

Écriture en faisant apparaitre 1/x

En vertu de

log (ab) = b log (a)

Pour tout réel

 

Quand x tend vers 0 par la droite

1/x tend vers 1/0+ = +

Or (voir ci-dessus)

Avec t = 1/x

En revenant à notre expression en notant que 1/x tend vers l'infini, alors x tend vers 0.

 

Graphe de x ln(x)

 

 

 

Suite

*  Limites avec des logarithmes

*  ln (x) < x

*  Polynômes

*  Un puissance infinie

Voir

*  LimiteGlossaire

*  Dérivées

Aussi

*  DicoMot

*  Débutants

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Analyse/Limite/xlnx.htm