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22 Novembre 2025

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/04/2026

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Classique

1 / x, 1 / x² …

Un^Infini

Dérivées

Polynôme

Hôpital

x . ln (x) …

Sommaire de cette page

>>> Limite litigieuse

>>> Règle de l'Hôpital

>>> Exemple

Règle de l'Hôpital

Comment trouver certaines limites qui semblent indéfinies ?

Une première approche.

Limite litigieuse!
Nous nous intéressons à la division de polynômes donnant la fraction 0 / 0. Que faire? L'intuition nous dit de nous intéresser à la vitesse de variation du numérateur comme à celle du dénominateur. Qui va le plus vite? Bonne idée, et en maths, la vitesse c'est la dérivée.	Exemples Facile! Mais que dire de: lorsque x tend vers 1: Horreur!

Voir Zéro et infini

Règle de l'Hôpital
Dans les cas d'indétermination de la limite du type: ou encore et dans ces cas uniquement: Dans le cas où, on se retrouverait à nouveau dans un cas d'indétermination, on recommence en dérivant une nouvelle fois.	Explicitement, cela veut dire que la division des dérivées se comporte comme la division des fonctions. Coin matheux: Soient f et g deux fonctions réelles continues dans l'intervalle ]-h,+h[, dérivables, sauf peut être en 0, dans cet intervalle, et telle que g(x) 0 pour x 0. Si f(0) = g(0) et si alors

Anglais: L'Hôpital's rule or Bernoulli's rule

Guillaume de l'Hôpital (1661-1704), marquis de Sainte-Mesme.

Mathématicien français.

1696 – Traité sur l'analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes; premier manuel de calcul différentiel.

Ne pas confondre avec

Michel de l'Hôpital (1505-1573), chancelier français.

Médiateur durant les guerres de religion.

Voir Années 1600

Exemple
L'expression de départ => La dérivée du numérateur et celle du dénominateur (pas la dérivée de la division, qui serait beaucoup plus compliquée!) On cherche ce qui se passe pour x = 1
Tableau x f(x) / g(x) -4 1,67 -3 1,50 -2 1,00 -1 DIV/0 0 3,00 0,6 2,63 0,8 2,56 0,9 2,53 0,95 2,513 0,99 2,503 0,999 2,5003 0,9999 2,50003 0,99999 2,500003 1 DIV/0 1,00001 2,499998 1,0001 2,49998 1,001 2,4998 1,01 2,498 1,05 2,488 1,1 2,48 1,2 2,45 1,4 2,42 2 2,33 3 2,25 4 2,20 5 2,17	Le phénomène est curieux car - la courbe semble continue autour de x = 1 - pourtant, en 1 précisément la division est indéterminée (0/0)

Exemple de double dérivation

Suite	Polynômes Un puissance infinie
Voir	Limite – Glossaire Dérivées Hôpital Villemin
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Sites	Règle de l'Hôpital – Wikipédia L'Hôpital's rule – Math is fun
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