limites, polynômes avec logaritmes

h(x) = x² + 3x – x . ln(x)
Étudier le comportement de cette fonction pour x positif; soit dans l'intervalle: Évidemment, nous pouvons découvrir le graphe à l'aide des outils classiques: calculette ou logiciel mathématique. h(x) est en rouge, visiblement une fonction positive pour x positif et croissante vers l'infini x² est montré en vert, et x . ln(x) est en ocre; une contribution négative jusqu'à x = 1 puis positive, mais apparemment inférieure à la contribution du carré de x. L'enjeu est de démontrer tout cela.
Prérequis concernant la fonction logarithme népérien

Comportement aux bornes de l'intervalle

h(x)

= x² + 3x – x.ln(x)

= x ( x + 3 – ln(x) )

Pour x = 0

h(0) = 0 + 3.0 + x. ln(x) (terme qui tend vers 0) => h(0) tend vers 0

Pour x infini

Avec le polynôme factorisé, x tend vers l'infini; mais que devient le facteur entre parenthèses?

Voir courbes.

Donc le second terme est positif; multiplié par x qui tend vers l'infini, l'ensemble tend vers l'infini.

Pour x tendant vers l'infini, h(x) tend vers l'infini.

ln(x + 1) < x ?
On passe par la soustraction	f(x) = ln(x + 1) – x
Sa dérivée
Signe pour x > 0, domaine de définition du logarithme.	f'(x) > 0
Valeurs aux bornes	f(0) = ln(1) – 0 = 0
Déduction	La fonction f(x) est toujours décroissante à partir de 0.
Conclusion pour tout x > 0	f(x) = ln(x + 1) – x < 0 ln(x + 1) < x
Et aussi pour tout x > 0 Car ln(x) < ln(x + 1)	ln(x) < x

Voir Graphe

Dérivée de h(x) = x² + 3x – x.ln(x)
x . ln(x)	Produit du type u.v dont la dérivées est u'.v + u.v' Ce qui donne:
Et pour h(x), une simple somme algébrique	h'(x) = 2x + 3 – ln(x) – 1 h'(x) = 2x – ln(x) + 2 Le graphe de la dérivée présente une allure en creux, avec un minimum pour x vers 0,5 et h'(x) compris entre 3,5 et 3,7.
Valeur aux bornes	Pour x = 0: h'(x) = 0 – (–infini) + 2 = infini Pour x infini: h(x) = infini (car x > ln(x) et a fortiori 2x+ 2 > ln(x)
Minimum	La dérivée y est nulle (point où la tangente prend la position horizontale). La tangente est donnée par la dérivée (cad: la dérivée seconde)	h''(x) = 2 – 1/x + 0 Elle est nulle pour: 2 – 1/x = 0 x = 1/2 Et la dérivée vaut: h'(1/2) = 1 – ln(1/2) + 2 = 3,6931…
Tableau de variations

Analyse du point d'abscisse x = 1

Point x = 1

C'est le point où le logarithme s'annule

h(x) = x² + 3x – x.ln(x)

h(1) = 1 + 3 – 0 = 4

Dérivée

h'(x) = 2x – ln(x) + 2

h'(1) = 2 – 0 + 2 = 4

Tangente

Sa pente est égale à la dérivée en ce point.

y = 4x + b

Elle passe par ce point (1, 4)

4 = 4 + b

b = 0

y = 4x

h(x) = 2x (a(ln(x))²) + b.ln(x) + c)

Fonction comportant un logarithme au carré. Allure du graphe:

Polynôme composé de deux facteurs. On pose:

Dérivée de
	y (fonction)		y' (dérivée)
Dérivée d'un produit	f = A.B		f' = AB' + A'B
Facteur en A	A = 2x		A ' = 2
Facteur en B	B = B1 + B2 + c
	B1 = a . ln (x)²
	On peut écrire (ln x)², on préfère ln (x)² en comprenant bien que ce n'est pas x qui est au carré, sinon on écrirait ln(x²). Ici, il s'agit de la dérivée d'un produit: ln x . ln x Toujours en uv' + u'v. Rappel: la dérivée de ln x est 1/x.
Ce qui donne	ln (x)²
	a ln (x)²
Suivant	B2 = b. ln (x)
Reprise de B	B = a ln (x)² + b ln (x) + c
Le produit initial	f = A.B
Calcul		f' =
Final		f' =

Points de tangence horizontale
La fonction est paramétrée en a, b et c. Le but est de déterminer ces paramètres en ayant connaissance de trois points sur la courbe. Ce sont les deux points de tangence horizontale pour lesquels on connaît les abscisses: 1/ e et . Ce sont les points pour lesquels la dérivée est nulle. On s'intéressera aussi au point d'abscisse e = exp(1) pour lequel on indique que la dérivée vaut 4. On se souvient que (ou on calcule): ln (e) = 1 ln (1/e) = – 1 ln () = 0,5
	f' =
x= 1/e	f' =
x =	f' =
x = e	f' =

Calcul des paramètres
Nous disposons de trois équations pour trois paramètres



Élimination des b

Différence
Calcul de b

Ce que deviennent fonction et dérivée
Fonction
Coordonnées des points remarquables
Dérivée	f'(x) = f'(x) = f'(x) = f'(x) =
Factorisation	f'(x) =

Le graphe avec les valeurs caractéristique

Voir Exponentielle

Suite	Polynômes x . ln (x) Un puissance infinie
Voir	Limite – Glossaire Dérivées
Aussi	DicoMot Débutants
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