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DÉRIVÉES Approche en classe de première Exemples
d'activités et exercices, expliqués pas à pas. Notions de: pente, coefficient directeur, dérivée et tangente. |
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Le
coefficient directeur représente la pente de la droite avec un signe:
La figure
illustre quelques cas de calcul du coefficient directeur m des droites:
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Problème Un canon
tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique. Ce boulet s'élève et
retombe 1600 m plus loin. On modélise
la trajectoire par: Quel est
l'angle du canon avec l'horizontale ? Allure du graphe La courbe
représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour
x = 800. La valeur
atteinte (y = 640 000 environ) est 800 fois supérieure la valeur de x (=
800). |
On observe
une démesure entre les
échelles des axes. |
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Activité avec GéoGebra Cet
outil est accessible sur Internet gratuitement. C'est un des outils utilisés au lycée. Son utilisation est très simple après un peu de
pratique |
Procédure pour tracer la courbe, les points et la droite
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Graphe Parabole en vert et droite AB en noir. La rotation de la molette de la souris permet
l'ajustement de l'échelle
Cette flèche cliquée permet de faire glisser la
figure en l'agrippant avec la souris (clic-gauche maintenu). |
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Coefficient directeur Le point B est déplacé le plus près possible du
point A (en ajustant l'échelle avec la molette). La fenêtre à gauche montre l'évolution du coefficient directeur
de la droite AB, lequel tend vers 1600. |
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Angle de la tangente La pente de la tangente est égale au coefficient directeur
arctan(1600) = 1,57 radian = 89,96° Un angle proche de 90°. |
Graphe avec même échelle en x et y
Avec cette
échelle, la tangente est pratiquement verticale |
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Voir Exemples d'utilisation
de GeoGebra
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Problème Sur une
plaine plate, un canon tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique.
Ce boulet s'élève à 800m et retombe 1600 m plus loin. Modéliser la
trajectoire et calculer l'angle du canon avec l'horizontale. Allure du graphe La courbe
représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour
x = 800 et y = 800 Le sol étant plat, la
parabole est symétrique et son maximum est
atteint pour x = 1600 / 2 = 800. |
Graphe avec
même échelle en x et en y. |
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Modélisation de la trajectoire Équation générale de la
parabole et calcul des coefficients en sachant que la courbe passe par trois
ponts. |
y = ax² + bx + c 0 = 0 + 0 + c => c = 0 0 = 1600²a + 1600b => 1600a = –
b 800 = 800²a + 800b => 1 = 800a +
b 1 = 800a – 1600a => a = – 1 / 800 b = – 1600 a = 2
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Pente avec GeoGebra Même procédure que
ci-dessus pour les points A et B et la droite AB. Alors la fenêtre nous
indique:
Un coefficient
directeur qui tend vers m = 2. Angle de la pente de la tangente à l'origine arctan(2) = 1,107 radian = 63,43 ° |
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On rappelle
la valeur du coefficient directeur de la droite AB; Il est
exprimé également en appelant h l'écart entre les deux abscisses. |
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Soit f une fonction
définie sur un intervalle I, et a et a + h (h différent de 0) deux éléments de
l'intervalle I: |
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Le quotient présenté
ci-dessus est appelé taux d'accroissement de la fonction f entre a et a + h. |
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Si le taux
d'accroissement tend vers un nombre
réel quand h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a. Ce nombre réel est la dérivée de la fonction f en a. On note f'(a) qui se lit
f prime de a. |
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Exemple avec la fonction f(x) = x² Point A (2 ; 4) Avec B (1 ; 1) : h = -1
Avec B (1,9 ; 3,61): h =
-0,1
Passage à la limite
La dérivée de x² au
point d'abscisse 2 est égale à 4. |
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Tangente La tangente à la courbe représentative de f au point
d'abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées
(a; f(a)) et ayant pour coefficient directeur f'(a). Le coefficient directeur
de la tangente en A est égal à la dérivée
de x² en A, soit 4. Avec y = 4x + b, on
détermine b en notant que la droite passe par le point A: Équation de la tangente:
y = 4x – 4, conformément avec ce que nous indique le logiciel GeoGebra. Angle de la pente de la tangente à l'origine arctan(4) = 1,326 radian = 75,96 ° |
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