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DÉRIVÉES – Exemple avec racines Célèbre problème poser à des
étudiants écossais et considéré comme trop difficile; d'ailleurs objet d'une
pétition (presse d'octobre 2015). |
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Problème |
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Le zèbre
est à 20 mètres du crocodile, mais de l'autre côté de la rivière. Sachant que
la vitesse du crocodile est différente sur terre et dans l'eau, calculer la
distance x au point P tel que le crocodile minimise son temps pour atteindre
le zèbre. |
Le temps en fonction de x est connu en dixièmes
de secondes par la formule:
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Résolution Calcul
des points extrêmes (en fait, demandé dans l'énoncé original). |
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L'optimum
est atteint lorsque la dérivée de T(x) est nulle. |
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Rappel de la dérivée d'une racine - la puissance devient coefficient (1/2); - la nouvelle puissance est égale à l'originale
moins un (soit -1/2); et - la dérivée de l'expression sous la racine est
multiplicative. |
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Notre
expression en introduisant une puissance
fractionnaire: |
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Sa dérivée: |
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Mise en
forme et égalisation à 0 pour trouver l'optimum. |
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Passage
au carré et calculs. |
25x² = 16 (36 + x²)
9x² = 576
x= 8 |
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L'optimum
est atteint pour x = 8 et pour 9,8 seconde; un peu moins que dans les deux
cas extrêmes. |
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Vérifications |
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Variation
de la fonction Le point
x = 8 est bien un minimum. |
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Graphe |
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Les trois problèmes récents présentés par la Presse de 2015
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Suite |
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Voir |
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Cette
page |
http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Analyse/DerivInt/Crocodil.htm
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