glossaire - équations différentielles

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Voir DicoMot Math: différentiel

Approche

Supposons que l'on vous dise que, pour venir chez vous, j'ai fait 10 km en voiture puis après je ne sais plus quelle était la distance, mais j'ai roulé à 50 km/h pendant une demi-heure.

Vous calculez aisément la distante totale en faisant ce petit calcul:

10 km + 0,5h x 50 km/h = 10 km + 25 km = 35 km

Maintenant quelle a été ma vitesse si j'ai parcouru 100 km au total en 40 km puis deux heures de route.

40 km + 2 x V = 100 V = (100 – 40) / 2 = 30 km/h

Ça se complique: j'ai bien 100 km. D'abord quelques kilomètres (x) puis le reste en deux heures. Ma vitesse (V) fut constante.

x + 2 x V = 100 V = = 50 – x/2

La solution est une fonction entre la vitesse et la distance. Une information supplémentaire est nécessaire. Par exemple après trois heures de route j'avais fait 30 km soit une vitesse de 10 km/h. Alors x = 100 – 2V = 100 – 20 = 80 km. Je sais reconstituer mon parcours: j'ai parcouru 80 km puis j'ai poursuivi pendant 2 heure à 10 km / h.

En bilan:

Avec

x la distance parcourue en premier.

V = x / t la vitesse la variation de la distance parcourue en fonction du temps,
et du point de vue du mathématicien, ce sera la dérivée de la distance par rapport au temps (dx / dt ou aussi x').

Une équation différentielle aura cette allure: la fonction combinée à sa dérivée (forme la plus simple):

Remarques

L'indétermination fait partie du problème de résolution des équations différentielles.

La solution est une fonction (et non pas un nombre comme dans les équations classiques)

On trouvera souvent des solutions à une constante près. Seule une information complémentaire (dite condition initiale) permettra de préciser sa valeur (passage de la courbe par un point connu, par exemple).

Équations classiques

L'équation classique fait intervenir un polynôme:

ax² + bx + c = 0.

Même avec des degrés négatifs (inverses) ou fractionnaires (racines) :

ax² + bx +c + px^-2 = 0

ax² + bx + c + px^1/2 = 0

Note: j'ai introduit la constante "p" plutôt que "d" pour ne pas créer de confusion avec le "d" de la dérivée.
On aurait pu conserver le "d" et utiliser le point de la multiplication:

Définition des équations différentielles

Une équation différentielle est une équation qui fait intervenir des dérivées:

Note: ici "dx" comme "dt "forme un bloc inséparable qui veut dire "une petite partie de x" ou "une petite partie de t". Pour les plus avancés en maths, on trouvera aussi , symboles utilisés pour des dérivées avec plusieurs variables.
Sans confusion possible, la dérivée est notée simplement avec la variable primée: x' ou y'.

Équation différentielle linéaire (uniquement le premier degré):

Équation différentielle non linéaire:

Résumé des notations les plus correctes

Merci à Jean Florent pour ses remarques

Vocabulaire

Une équation différentielle qui fait intervenir la dérivée énième est une équation différentielle du énième ordre: premier ordre, deuxième ordre …

Trouver les solutions d'une équation différentielle, c'est résoudre l'équation ou l'intégrer.

La solution à trouver est une fonction dite solution ou intégrale.

Équations aux dérivées partielles ou différentielles partielles (EDP): les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.

Exemples

Si l'équation est simplement y' = q(t), la solution est la fonction Q(t), primitive de q(t) à une constante près;

La constante réelle C est déterminée par la connaissance d'une valeur de y₀ pour x₀.

Exemple: y' = cos (t) y(t) = sin (t) + C

Équations différentielles de base

*Un exemple pourtant simple!* Une idée de la complexité de la résolution	Prenons l'exemple simple. Avec y jamais nul.	y' + a(x) . y = 0 ou
	En divisant
	Primitive du membre de gauche
	Primitive à droite
	Primitive pour notre équation
	Exponentielle de chaque membre
	Exemple	a = sin (x)

Exemple d'applications

*Chute des corps*	L'équation différentielle la plus connue est sans doute celle trouvée par Newton pour décrire le mouvement. C'est celle qui que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération. Or l'accélération est la dérivée de la vitesse (le taux de variation de la vitesse). Avec l'accélération de la pesanteur ( g = 9,81), on retrouve le poids: g étant l'intensité de la pesanteur. Pour le mouvement d'un projectile cette équation devient: Équation non linéaire du fait de la présence de v².
*Le pendule*	Avec thêta l'angle que fait la tige (L) du pendule avec la verticale: Équation différentielle non linéaire du pendule. Pour de petites oscillations sin () est proche de , alors avec cette approximation l'équation différentielle est linéarisée. et la solution est évidemment plus simple à trouver.
*Ressort*	Ressort de raideur k auquel est accrochée une masse m. équation différentielle donnant l'amplitude y de l'oscillation:
*Circuit*	Équilibre stationnaire pour circuits RLC, avec i l'intensité: Avec V la tension aux bornes du condensateur ajouté au circuit:

Opérateurs différentiels

Équations aux dérivées partielles

EDP

Nous nous sommes intéressés au cas où la dérivée ne concerne qu'une seule variable (t ou x par exemple); et si nous avions à faire aux variations non seulement dans la direction de x mais aussi de y et même de z ? Chacune des dérivées par rapport à x, y ou z est une dérivée partielle.

Pensez à la courbure autour d'un point.

Les équations avec ces dérivées partielles sont des équations aux dérivées partielles (EDP).

Notations

Pour bien signifier chaque contribution des dérivées le d est remplacé par un delta:

Exemples

*Abréviations*	Les mathématiciens et les physiciens ont pris l'habitude d'utiliser des opérateurs différentiels pour simplifier l'écriture. Exemples ci-dessous pour un espace en 3D (x, y et z).
Forme différentielle
Nabla
Gradient	Classique dérivée d'une fonction étendue à l'espace. C'est la pente locale de la fonction.
Divergence
Laplacien	Opérateur aux dérivées secondes de Laplace
Rotationnel	En mécanique des fluides, par exemple, le rotationnel serait l'axe d'un tourbillon avec u (un champ) la vitesse du liquide.
Hamiltonien	Physique quantique: équation de Schrödinger
D'alembertien