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Édition du: 22/09/2023 |
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Passage du Sofa dans un angle
Comment
faire passer un sofa dans couloir présentant un angle droit. |
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Sommaire de cette page >>> Cas général du sofa >>> Cas particulier de la planche |
Débutants Glossaire |
Cas général du sofa
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Problème du sofa Problème formalisé par le mathématicien Leo Moser
en 1966. Trouver la forme rigide plane d'aire maximale que
l'on peut déplacer dans un couloir d'un mètre
de large avec un angle droit (en forme de L). Problème non résolu. Solution simple Sofa demi-circulaire de rayon unité. L'aire est alors égale à: Constante du sofa = aire maximale
du sofa Elle est comprise entre:
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Solution de John Hammersley (1968) Un demi-cercle de rayon unité, coupé en deux,
augmenté d'un rectangle intermédiaire, lequel est évidé d'un demi-cercle.
Aire:
Source image: Wikipédia |
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Voir Brève
45-898
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Construction du couloir en L Un couloir de largueur D = 64 cm et un retour de
largueur d à déterminer. Quelle est celle largueur minimale permettant de
faire passer une planche très large et de longueur B = 125 cm d'un couloir à
l'autre. Se problème se ramène à un problème dans le plan
tel que représenté sur cette figure. Piste (figure du bas) En traçant les deux segments noirs, on forme deux
triangles rectangles semblables. La planche est formée des deux morceaux L et l dont
on peut calculer la longueur avec les sinus
ou cosinus de l'angle téta. Alors, reste à minimiser la largeur d. C'est possible
en cherchant la racine de la dérivée
(le passage par zéro de la fonction dérivée). On se souvient
que (la dérivée étant notée '): |
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Calculs
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Vérification
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Tracé obtenu par GeoGebra En vert la fonction et en bleu sa dérivée: Le point d'intersection avec l'axe des x est en
0,6435. Ce qui est la valeur en radian de l'angle
optimum. Son cosinus vaut 0,8 = 4/5. |
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