NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/01/2016 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Nombres complexes
Débutants Complexes	PUISSANCE			Glossaire Complexe
INDEX Complexes		Réelle (principes)	Réelle (calculs)	Imaginaire
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		Sommaire de cette page >>> Puissance entière d'un complexe – Exponentielle >>> Puissance entière d'un complexe – Cartésienne >>> Développement classique >>> Puissance complexe devenant entière >>> Développement imaginaire >>> Cas de (1 + i)^n et (1-i)^n >>> Puissances entières élevées

PUISSANCE réelle

d'un nombre complexe

Développement du binôme complexe. Quelques formules puis explication en deux temps.

Puissance entière d'un complexe – Forme exponentielle et polaire

Puissance entière d'un complexe – Forme cartésienne

Ci-dessous, explication du calcul de ces formules.

Développement classique (en conservant i)
La première ligne se lit: (a + ib)^2 = a^2 + 2i ab + i^2 b^2 On reconnaît naturellement le développement du binôme. Dans un premier temps, la valeur de i^n n'est pas développée. Elle est indiquée en pied de tableau et va servir à calculer le tableau final ci-dessous.

Développement classique (en développant i)
Les puissances de i ont été remplacées. Par exemple: 120 i^3 = -120 i.

Voir Cas où ces puissances produisent un nombre réel sans partie imaginaire

Cas de A = (1 + i) et B = (1 – i)
Calculs (exemple) Note: la fraction inverse: B/A = – i >>> Voir Utilisation du conjugué pour effectuer une division / Identités remarquables A² = (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i B² = (1 – i)² = 1 – 2i + i² = 1 – 2i – 1 = –2i A² / B² = 2i / – 2i = –1 Tableau pour les puissances n de 1 à 10 Illustration sur le plan complexe

Puissance élevée
Les formules indiquées ci-dessus s'avèrent fastidieuses. La décomposition en produits ou puissances de puissances est plus appropriée. Exemple: nous savons que (1 + 3i)^3 = – 8 Nous pouvons en déduire que: (1 + 3i)^6 = ( (1 + 3i)^3)^2 = (– 8)^2 = 64 (1 + 3i)^66 = ( (1 + 3i)^3)^22 = (– 8)^22 = 64^11 = 73786976294838206464 = 7,4 … 10^19

Suite	Exemples de calculs Formule de De Moivre Puissances réelles entières Puissances imaginaires Complexe – Index
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels Puissances et racines – Index
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