fractales, propriétés, dimension fractale

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/07/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	FRACTALES
Débutants Fractales	Théorie et Pratique			Glossaire Général
INDEX Fractales	Propriétés	Aire	Programmation
	Sommaire de cette page >>> Propriétés des fractales >>> Dimension topologique >>> Dimension d'homothétie >>> Dimension fractale >>> Valeurs fractales >>> Aire nulle >>> Coefficient d'étirement

FRACTALES

Principale propriété: dimension non entière … fractionnaire!

Oui, mais toujours, la dimension peut être aussi entière ou irrationnelle.

Voir Entier / Fractions

PROPRIÉTÉS DES FRACTALES

Une fractale ou un objet fractal.

Dimension non entière.

Dimension strictement supérieure à la dimension topologique.

Non-différentiable (impossible de définir la tangente).

Apparition d'infinis (longueur infinie par exemple).

Certaines fractales, dits à homothétie interne, peuvent être construites à partir d'algorithmes simples

ensemble triadique de Cantor,

ensemble de von Koch,

courbe, éponge et tapis de Sierpinski,

etc.

DIMENSIONS

DIMENSION TOPOLOGIQUE

Ce sont des valeurs entières:

0 – Point

1 – Courbe

2 – Surface

3 – Volume

4 – Hyper volume

DIMENSION D'HOMOTHÉTIE

Dimension 1 Dimension 2 Dimension 3

Segment doublé Carré doublé Cube doublé

Facteur 2 = 2¹ Facteur 4 = 2² Facteur 8 = 2³

Le facteur d'agrandissement (d'homothétie) est égal à

2^{Dimension
Topologique}

C'est encore une valeur entière

Voir Duplication du cube

DIMENSION FRACTALE

Exemple

Par rapport à la ligne classique dont la dimension est 1, le flocon est plus froufrouteux. Il remplit plus l'espace, mais pas autant que l'espace d'une surface de dimension 2.

La dimension fractale du flocon est 1,26.

Celle d'une côte au bord de la mer est comprise entre 1,15 et 1,25.

Définition

Dimension fractale: log p / log q

Avec q facteur d'agrandissement

p nombre de fractales obtenues.

Exemple

Dans le cas du flocon, le segment initial est remplacé par 4 autres (p = 4) de longueur 1/3 (facteur d'agrandissement ou plus exactement, facteur d'expansion: q = 3).

Dimension fractale: log 4 / log 3 = 1,26…

Voir Logarithmes

Définition précise

La définition précise de la dimension fractale (Hausdorff - Besicovitch) est complexe:

Valeur de d pour laquelle le volume de dimension d change de l'infini à zéro.

Ses créateurs avaient créé cette dimension pour s'amuser et se moquer des mathématiques. L'arroseur arrosé! La nature a plus d'un tour dans son sac.

Approche de cette définition

Une courbe fractale a une dimension supérieure à 1, comme si elle avait une épaisseur.

Imaginons qu'elle soit tracée par un stylo dont la bille à un certain diamètre. En utilisant un stylo plus fin, surprise, on découvre un tracé en dessous qui ressemble au premier.

Stylo encore plus fin: encore la même courbe… jusqu'à un diamètre nul.

La longueur de la courbe grandit au fur et à mesure que le diamètre de la bille diminue. L'agrandissement se fait selon une loi en puissance: l'exposant est la dimension fractale.

Dimension fractale D

En mesurant la courbe avec une "règle" X fois plus courte, la longueur s'accroît de X^D.

VALEURS de dimensions fractales
Objet	Dimension	Formule
Cantor	0,6309297534	log 2 / log 3
Flocon (Koch)	1,261859507	log 4 / log 3
Cercles d'Apollonius	1,3057
Enveloppe d'un mouvement brownien plan	1, 333	4/3
Côte	1,33? (<1,5)	Constat
Triangle de Sierpinski	1,584962501	log 3 / log 2
Mot Fibonacci	1,637938208…
Fougères	1,7
Molécule protéine	1,7
Tapis de Sierpinski	1,7227	log 16 / log 5
Pentagones de Dürer	1,86171596	log 6 / log ( 2 / (3-5) )
Carpette de Sierpinski	1,892789260	log 8 / log 3
Courbe de Peano Courbe de Hilbert	2	Pas réellement des fractales
Papier froissé	2,5
Fougères 3D	2,5
Éponge de Menger Éponge de Sierpinski	2,726833027	log 20 / log 3

AIRE nulle

haut

Objet de dimensions 0 ou 1

Point

Ligne ouverte ou fermée
Droite, cercle, parabole, sinusoïde …

Objets fractals

1890, Giuseppe Peano (1858-1932): il existe des courbes qui remplissent complètement toute la surface d’un carré, c’est-à-dire des courbes si tortueuses qu’elles couvrent sans la moindre lacune tout le carré.

Construction

Réaliser par itération une suite de figures dont l’aire s’amenuise par évidements successifs, jusqu’à l’annulation pour une répétition infinie.

Exemple des pentagones

Un assemblage de pentagones.

L’opération consiste à remplacer chaque pentagone par une réduction appropriée de la figure de départ

Exemple de triangles

Dimension fractale

Toutes ces figues fractales ont une aire nulle.

La densité des traits est de plus en plus importante.

Elle est caractérisée par la dimension fractale de la figure.

Une notion qui témoigne du repliement des figures lors d'une itération.

Voir Solution de Besicovitch pour le problème de l'aiguille

FEIGENBAUM – Coefficient d'étirement

2,502 908… et 4,669 201 66… = Valeurs de Feigenbaum

Valeur d'étirement des figures fractales.

Facteur d'échelle de transformation des figures fractales. Feigenbaum 1975

Dans le cas de certaines courbes fractales,

comme la courbe logistique , après un nombre d'itérations suffisant (1024, par exemple), le dessin suivant sera le même sauf qu'il faudra amplifier les l (axe x) d'un facteur 2,502908 et celui des x (en fait axe des y) d'un facteur 4,66920166.

Cette propriété est valable

pour toutes les fonctions continues dont le graphe n'a qu'un seul maximum. Ces deux valeurs sont universelles comme Pi.

Keith Briggs du département mathématiques de l'université de Melbourne détient le record du calcul de décimales:

4,6692016091 0299067185 3203820466 2016172581 8557747576 8632745651 3430041343 3021131473 7138689744 0239480138 1716598485 5189815134 4086271420 2793252231 2442988890 8908599449 3546323671 3411532481 7142199474 5564436582 3793202009 5610583305 7545861765 2222070385 4106467494 9428498145 339172620 0568755665 9523398756 0382563722 5

Voir Constante de Feigenbaum et dédoublement / Nombres de Feigenbaum transcendants