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22 Novembre 2025
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Édition du: 08/04/2026 |
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INDEX |
Géométrie intrigante |
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Problème de KAKEYA ou de l'aiguille qui tourne
Faire faire
un tour complet à une aiguille en balayant l'aire minimale. L'aiguille ne
peut que glisser ou tourner tout en restant dans le plan. Quelle est
la valeur de cette aire minimale ? L'aire du disque. Pas si simple; il y a
mieux, nettement mieux …
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Sommaire de cette page >>> Le problème de l'aiguille de Kakeya >>> Solution du deltoïde >>> Solutions des fils tendus >>> Jonction de Pal >>> Construction de Besicovitch >>> De 1919 à 2008 – La solution Besicovitch >>> Solutions modernes: 2008 à 2022 |
Débutants Glossaire |
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Disque Une aiguille de longueur
unité. Elle doit faire un tour
complet dans le plan. Si on fait pivoter
l'aiguille autour de son centre, la surface balayée est un disque. Est-ce que l'aire
balayée est la plus petite ? |
Solution la plus
évidente. |
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Triangle de Reuleaux
(cercle "aplati") Le triangle de Reuleaux est connu.
Avec sa forme arrondie, il permet notamment la construction de moteur
rotatif. Pour sa construction, on
utilise un triangle
équilatéral et, sur chaque côté, on dessine le segment de cercle avec le
sommet opposé comme centre et la longueur du côté comme rayon. L'aiguille tourne d'un
sixième de tour (60°) autour d'un des sommets et, ayant atteint un autre
sommet, elle se met à tourner à partir de ce sommet, etc. |
Solution qui diminue
l'aire de la surface balayée par l'aiguille. |
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Triangle équilatéral Pourquoi conserver les
bords arrondis ? Avec un triangle
équilatéral ayant la longueur de l'aiguille pour hauteur (1), on balaye selon
le sixième de tour matérialisé en pointillés, passant de position 0 à la
position 2. Puis, une translation
le long du côté permet de passer en position 3 et de poursuivre en balayant
sur un nouveau tiers de tour. Etc. En 1921, le mathématicien hongrois Julius Pal (1881-1946) démontre
qu’il n’existe pas de domaine convexe plus petit que le triangle
équilatéral et qui autorise le retournement de l’aiguille. |
Meilleure solution "convexe"
Encore un nouveau
gain. Est-ce la limite ? Oui, pour une surface convexe; non dans le cas général. |
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Deltoïde La deltoïde est la trajectoire d'un
point d'un cercle lorsque celui-ci roule sans glisser à l'intérieur d'un
cercle trois fois plus grand. L'aiguille tourne avec
ses deux extrémités parcourant deux arcs tandis qu'elle reste tangente au
troisième arc.
Conjecturant que c'était
la meilleure solution, les
mathématiciens essayèrent de prouver qu'il s'agissait de la surface minimale,
sans vraiment chercher mieux. Puis … |
Meilleure solution "non- convexe" ? On l'a longtemps cru !
Cette fois, avec cette
solution, on doit tenir la limite ! |
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Voir Brève 917
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Fils tendus
sur axes perpendiculaires Pourtant, une nouvelle
technique originale est possible: les extrémités de l'aiguille glissent à la
fois sur deux axes perpendiculaires. Pou réaliser le tour complet, il faut quatre fois
cette figure. Il est possible
d'optimiser en utilisant une autre
valeur d'angle. Ci-dessous, un angle de 120°. |
L'enveloppe des droites
est une hyperbole. |
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Angles plus grands Motif élémentaire et regroupement, ici, par trois pour faire le tour complet. L'analyse de ces cas montre qu'à partir de
l'étoile à treize branches l'aire balayée est inférieure à 0,5. En augmentant
la quantité l'aire décroit encore puis se met à croitre. |
Une solution encore
meilleure de la deltoïde avec environ quinze branches. |
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Rotation de l'aiguille On va prendre une image
avec un train (figuré en bleu) qui
remontre les rails vers un aiguillage et recule sur la voie d'à côté. Cette opération fait
tourner le train d'un angle alpha et cela en balayant la petite surface
rouge. En reproduisant cette
opération en cercle, on peut faire tourner le train de 360°. En diminuant l'angle, la surface rouge
tend vers 0 et même en multipliant par une infinité d'aiguillages, l'aire devrait être voisine
de zéro. Eh bien NON ! Voir Zéro x Infini
= indéterminé |
Le principe général
Le segment bleu navigue
dans cette ligne en V. Il tourne d'un angle alpha en balayant la seule surface rouge, aussi petite que
l'on veut en réduisant l'angle. L'aire
du secteur vaut C'est l'aire du secteur
unité. Donc, pas la bonne solution ! Mais le principe est le bon. |
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Construction de Julius Pal Changement de tactique:
on cherche une méthode pour passer d'une droite à sa voisine qui lui est
parallèle. On montre que ce double
aiguillage, conduit à une aire balayée (rouge) aussi pette que l'on veut,
car: |
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Bilan: jonction de Julius Pal Étant donné deux lignes
parallèles, un segment peut passer de l'une à l'autre avec une surface d'aire
aussi petite que l'on veut. Sur l'illustration, la
surface verte suffit. |
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Ensembles (ou figures) de Besicovitch
(1891-1970)
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Inventé pour montrer que
le retournement de l'aiguille peut être réalisé dans une surface d'aire aussi
petite que l'on veut. Ce sont des figures dont
la petitesse est sans limite mais qui permettent toutes le retournement de
l'aiguille. |
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Construction de Besicovitch Dans un premier temps on
balaye un secteur aussi petit que l'on veut. Sans autre procédé on aboutit à
une surface balayée dont l'aire est celle du disque. L'astuce consiste à
partager le secteur en deux et à les superposer. Alors, on sait balayer dans
chacun des secteurs et l'aire balayée est plus petite que celle du secteur
initial, voire proche de zéro si on diminue la taille du secteur. Mais comment passer d'un
demi-secteur à l'autre ? Avec le procédé de Pal ! |
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Combinaison des deux opérations Répétée sur un tour, ces
opérations permettent la rotation complète de l'aiguille pour une surface
balayée aussi proche de zéro que l'on veut. |
Assemblage des secteurs (exemple)
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Pour minimiser la
surface balayée, Besicovitch va plus loin. Au lieu de partager en
deux, il partage en quatre ou même plus. Il regroupe ces lamelles en gerbes
au niveau du pied, puis par le milieu
et encore plus haut, puis … On montre que l'aire
obtenue est la moitié de celle du départ avec quatre étages et diminue avec plus d'étages. |
Réduction de l'aire par le facteur que l'on veut
en augmentant la quantité de regroupements par étages. |
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Le résultat est un arrangement fractal complexe
avec une zone qui peut être rendue arbitrairement petite, ce qui équivaut à
n'avoir aucune aire du tout. |
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Aire pratiquement nulle ! Dès 1928*, Abram
Besicovitch démontre qu'il n'y a pas de limite. * Études réalisées dès 1919 indépendamment de
Kakeya et publiées en 1928. L'aire peut
être aussi proche que l'on veut de zéro sans être nulle. Sa démonstration utilise
un principe très particulier de son invention associé
aux jonctions de Pal. La méthode de
construction itérative qui rend l'aire aussi petite que l'on désire s'appelle
l'arbre de Perron. |
La méthode utilisée par Besivovitch est expliquée dans le livre
de Borelli et Rullière – page 111 et suite. |
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Ensemble de Kekaya ou de Besicovitch Ensemble de points d'un
espace euclidien qui contient un segment de droite de longueur unité dans
chaque direction. Conjecture de Kakeya Elle porte sur la taille
minimale des ensembles de Kekaya en dimension quelconque. Cette conjecture annonce
que l'ensemble de Kekaya doit avoir une dimension
(fractale) minimale en fonction de n au sens Hausdorff ou Minkowski. La preuve existe pour n
= 2 (le plan) et la propriété est toujours à démontrer pour n supérieur. |
Un ensemble de Kakeya
construit avec l'arbre de Perron "À la limite, c'est
une chose étrange qui ressemble à un hérisson" dit Zeev Dvir, auteur de nouvelles preuves à Princeton |
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Zeev Dvir, mathématicien
et informaticien à l'Université de Princeton, a prouvé la conjecture de
Kakeya pour certains systèmes de nombres finis avec son étudiant, Manik Dhar. |
Zeev Dvir et Manik
Dhar |
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L'ensemble de Besicovitch est formé d'un ensemble de points. Comment sont-ils
répartis ? Pour poursuivre les
investigations, la notion d'aire n'est pas suffisante. Approche
(caractérisation) via la notion de dimension fractale (Hausdorff et
Minkowski). |
La conjecture de Kakeya
prédit que les dimensions de Hausdorff et de Minkowski d'un ensemble de
Kakeya doivent être aussi grandes que possible. |
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Nombres premiers La piste des ensembles
de Kakeya pour étudier les nombres premiers
n'est pas évidente. |
Il s'agit
essentiellement de travailler sur la répartition des nombres premiers,
caractérisée par des progressions
arithmétiques. |
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Nombres réels Le fait que l'aire
s'approche de zéro sans l'atteindre fait penser aux nombres rationnels
que l'on peut rendre très proche d'un nombre réel mais
sans l'atteindre. Voir Coupure
de Dedekind L'arithmétique modulaire
semble un axe de recherche prometteur. |
Difficultés: les nombres réels sont en
quantité infinie
non-dénombrable. Ils remplissent continument la droite des nombres. En 2008, Zvir a résolu la conjecture de Kakeya dans le système de
nombres congruents dont le module est premier. En 2020, Zvir et Dhar tendent la démonstration aux nombres
composés produit de deux premiers. Ils utilisent une représentation matricielle:
points en colonnes et directions en lignes. Les propriétés trouvées pour
cette matrice seront celles de l'ensemble. Ils ont montré qua
la taille de la matrice est nécessairement très grande. |
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Les mathématiciens
explorent cette piste, aussi avec l'outil des nombres p-adiques, pour parfaire les
connaissances en théorie des nombres. |
En 2021, Bodan Arsovski
(université de Londres) étend la preuve de la conjecture pour les nombres
premiers portés à une puissance. Son outil,
les nombres p-adiques. |
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Derniers développements La conjecture de Kakeya
est démontrés pour les nombres discrets dans divers
systèmes. Elle reste ouverte pour
les nombres réels. Certains mathématiciens
doutent qu'elle soit vérifiée dans ce cas-là. |
En octobre 2021, Dhar
prouve la conjecture de Kakeya pour tout module, premiers comme composés. En 2022, Salvatore
prouve la conjecture pour les corps locaux (localement compact) à
caractéristique positive. |
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Source: certaines illustrations proviennent du
livre indiqué en référence
La vision
moderne est insprirée du texte de
Kevin Hartnett de juillet 2022
Avertissement
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Comme c'est habituel avec ces pages, le sujet est
volontairement traité de façon simple, abordable par une majorité
d'internautes. Pour un traitement plus mathématique, se reporter
aux nombreux sites internet, surtout en anglais, dont de nombreuses vidéos. Je recommande le livre et la
vidéo de Vincent Borelli et als. |
Anglais
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Take a needle and rotate it all the way around. What’s the smallest
area that you can cover? Kakeya was curious about the
smallest area required in the two-dimensional plane to turn a one-dimensional
line of a given length so that it eventually points in all directions The Kakeya conjecture predicts how much room
you need to point a line in every direction. |
Voir Anglais pour le bac et pour les affaires
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Voir |
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