NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/01/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	OBJETS FRACTALS
Débutants Fractales	Courbe de Koch			Glossaire Général
INDEX Objets fractals	Introduction	Courbe de Koch	Calcul de son aire
	Sommaire de cette page >>> Courbe de Koch – Flocon de neige >>> Caractéristiques >>> Pavage >>> Construction Helge von Koch (1870-1924)

COURBES FRACTALES

Courbes continues sans dérivée – dérivable nulle part.

Courbes de dimension différente de 1 – comprise entre 1 et 2.

Monstre mathématique!

Voici la courbe Koch, connue bien avant de la nommer fractale.

Voir Introduction aux fractales / Hexagone

COURBE DE KOCH – FLOCON DE NEIGE (1904)
Deux principes de construction Une figure initiale: un triangle équilatéral. Une règle de transformation: Remplacez le tiers central de chaque segment par un triangle équilatéral sans base. Répétez cette opération sur la figure obtenue; Et, ceci, autant de fois que vous le voulez.
Étapes de construction Cette courbe converge uniformément vers une courbe continue sans point double. Elle n'admet de tangente en aucun point. Une partie quelconque de la courbe est semblable à la courbe entière. Pour être précis: La courbe de Koch correspond à la transformation d'un seul segment. Le flocon de neige est la figure formée sur un triangle équilatéral initial.

Anglais: Koch Snowflake

Flocon - Caractéristiques
Courbe de longueur infinie et d'aire finie. Générateur: 4 segments de longueur 1/3 Dimension: log 4 / log 3 = 1,261 … Aire limite: 8/5 de l'aire du triangle équilatéral initial (Voir Calcul) Longueur: Infinie A l'étape n, le périmètre du flocon est: 3 x (4/3)^n Elle tend vers l'infini avec n. Quantité de côtés: 3, 12, 48, 192, 768 Cn = 4 Cn-1 Cn = 3 x 4^n-1

Pavage

Malgré son allure tourmentée, il est possible de paver le plan avec deux flocons de Koch de taille différente; impossible avec une seule taille.

Source image: Wikipédia – David Eppstein

Construction

Suite	Aire de la courbe de Koch (flocon de neige)
Voir	Objets fractals de Sierpinski Index des objets fractals Crises en maths Géométrie Jeux Lunules en fractales Paradoxes Points Sauts de grenouille Symétries
Diconombre	Nombre 1,26: dimension de la Courbe de Koch
Sites	Flocon de Koch – Wikipédia – Voir pour les variantes de la courbe de Koch Koch Snowflake – Wolfram MathWorld
Autres sites	Sites sur les fractals Les Fractales Fractals unleashed
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracCour.htm

Référence dans la presse mathématique

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