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COURBES de Koch

ou flocon de neige

Calcul de l'aire de cette figure. Elle finie alors que la longueur de la courbe est infinie.

Anglais: Area of the Koch Snowflake

Triangle initial
Aire du triangle équilatéral	3 côtés donneront naissance à 3 nouveaux triangles plus petits.

Étape 1
Longueur du côté des petits triangles équilatéraux bleus: C1 = 1/3 C Aire des trois triangles bleus: Aire de la figure, avec l'aire initiale en facteur commun: La figure illustre la vérification de la formule trouvée: l'aire des trois triangles bleus couvre effectivement 1/3 du grand triangle.	Les 3 nouveaux triangles forment 3 x 4 arêtes = 12 qui donneront naissance à 12 triangles plus petits.

Étape 2
Longueur du côté des petits triangles équilatéraux violets: C2 = 1/3 C1 = 1/9 C Aire des 12 triangles violets: Aire de la figure:	Les 12 nouveaux triangles forment 12 x 4 arêtes = 48 qui donneront naissance à 12 triangles plus petits.

Étape 3
Longueur du côté des petits triangles équilatéraux violets: C3 = 1/3 C2 = 1/3^3 C Aire des 48 triangles: Aire de la figure:	Essayons de voir une logique dans la formation des nouveaux termes (aires des nouveaux triangles. Avec des puissances de 9 au dénominateur, la formule devient: Avec des facteurs 3 et 4 au numérateur: Vous devinez la suite … mais essayons de comprendre.

Formule de récurrence
Côté du nouveau triangle	C1 = 1/3 C C2 = 1/3 C1 = 1/3^2 C C3 = 1/3 C2 = 1/3^3 C .. Cn+1 = 1/3 Cn = 1/3^n C
Quantité de triangles engendrés	k = 1 k1 = 3 k2 = 4k1 = 4 x 3 k3 = 4k2 = 4^2 x 3 … kn+1 = 4kn = 4^n-1 x 3
Aire ajoutée à chaque étape: kn fois l'aire du petit triangle de côté Cn

Valeurs de H et A pour la nième étape (avec C = 1). L'aire du flocon de neige semble converger vers la valeur 0, 692 …

n Hn An 1 1/3 0, 5773502693 2 4/27 0, 6415002993 3 16/243 0, 6700114236 4 64/2187 0, 6826830346 5 256/19683 0, 6883148615 6 1024/177147 0, 6908178958 7 4096/1594323 0, 6919303555 8 16384/14348907 0, 6924247820 9 65536/129140163 0, 6926445271 10 262144/1162261467 0, 6927421916

Convergence
Si nous reprenons l'aire du flocon et l'exprimons sous la forme d'une somme. Le terme sous somme est en progression géométrique de raison q = 4/9 inférieure à 1, et dont le premier terme pour k = 1 est a = 1/9, alors elle converge vers a / (1 – q).

Bilan (côté = 1)
Aire du triangle initial: Aire relative du flocon de neige limite: Aire limite du flocon de neige:

Flocon avec Scratch
	Commentaires On précise la taille au départ. Le bloc (sous-programme) KOCH est exécuté trois fois avec rotation de 120°. Ce bloc dessine les quatre lignes d'un motif du flocon, en divisant chaque motif par 3, et en faisant appel à lui-même pour descendre en finesse. En fin de boucle, le programme commande une avance d'une longueur adaptée à la taille pour dessiner le motif suivant. Toujours impressionnant de voir la récursivité à l'oeuve.
Répétition du flocon avec finesse progressive La figure est faite en donnant la taille 5 au départ

Voir Programmation – Scratch / Flocon dessiné avec Python

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