totient d'Euler

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	Nombres – Caractéristiques
Débutants Nombres	Indicatrice d'EULER (Phi)				Glossaire Nombres
INDEX Euler Nombre et leurs représentations	Phi – Débutant	Phi – Approche	Phi – Opérations	Phi – Propriétés
		Table 1 à 500
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Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Propriétés

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

Quelles sont les principales propriétés?

Nombres ayant même totient et quantité de diviseurs

Nombres tels que:

On lit tau de n égal phi de n.

Exemple: Le totient de 8 est 4 et la quantité de diviseurs est également 4.

Liste: 1, 3, 8, 10, 18, 24, 30. C'est tout.

INDICATRICE D'EULER – Propriétés

Premier

Pour un nombre premier (p) = p – 1 et la réciproque et vraie.

Un nombre est premier si et seulement si j (n) = n – 1

Premier entre eux

Si a et b sont premiers entre eux:

(a.b) = (a) . (b)

Diviseurs

Pour tout n

n = Σ_d|n (d) = somme pour tous les diviseurs de n des totients des diviseurs.

Valeur minimale du totient

Théorie des nombres

Le totient est important, car il est égal à de nombreuses autres formes utilisées en théorie des nombres:

degré du polynôme cyclotomique

nombre de générateurs du groupe additif Z/nZ

etc. (notions qui dépassent le cadre de ce site).

Définition avancée**
Soit n un entier naturel non nul, soit G_n le groupe des inversibles de , on appelle indicatrice d'Euler de n l'entier (n) = card(G_n) Les seuls éléments inversibles de sont 1 et -1, chacun étant son propre inverse. Un élément x est inversible, s'il existe une élément y tel que xy = multiple de n plus 1. Soit: Dans et d'après la nouvelle définition (et cela se démontre), les inversibles sont les nombres premiers avec n. Rappel est l'ensemble des classes d'équivalence des entiers relatifs modulo la relation d'équivalence R définie par: a R b (a – b) est un multiple de n ou, ce qui revient au même : a R b (a – b) n . En bref: ce sont les ensembles des nombres qui ont le même reste dans la division par n. L'ensemble des classes d'équivalence peut être défini par les représentants de la classe, les restes de la division par n. Exemples
Ensemble = restes de la division par 10	= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Inversibles = premiers avec 10	I₁₀ = {1, 3, 7, 9}
Indicatrice d'Euler: quantité (cardinal) d'éléments	(10) = Card(I₁₀) = 4
Ensemble	= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Inversibles	I₉ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}
Puissances de 2 mod 9	2, 4, 8, 16, 32, 64 2, 4, 8, 7, 5, 1 c'est I₉ Le groupe I₉ est cyclique.
Indicatrice d'Euler	(9) = 6
Ensemble	= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Inversibles	I₉ = {1, 3, 5, 7}
Indicatrice d'Euler	(4) = 4

SÉRIE DE FAREY

1 + (1) + (2) + (3) + ... + (n-1) + (n)

= 3 ( n / p )²

= 0,3039 n²

pour n très grand

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