totient d'Euler débutant

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 04/04/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	Nombres – Caractéristiques
Débutants Nombres	Indicatrice d'EULER (Phi)				Glossaire Nombres
INDEX Euler Nombre et leurs représentations	Phi – Débutant	Phi – Approche	Phi – Opérations	Phi – Propriétés
		Table 1 à 500
		Sommaire de cette page >>> Les premiers seuls ou à plusieurs >>> Un premier face aux autres >>> Les premières valeurs

Fonction PHI d'EULER

ou indicatrice d'EULER

ou totient d'EULER

Spécial débutants

Phi (n) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

Voyons cela pas à pas.

LES NOMBRES PREMIERS: seuls ou à plusieurs

Nombre premier:

Nombre qui ne peut être divisé par aucun nombre, sauf 1 et lui-même.

12 = 2 x 6

n'est pas premier;

c'est un nombre composé.

13 = 1 x 13

est premier: aucun nombre ne le divise, sauf lui-même et 1.

ne partagent pas un même diviseur.

12 = 3 x 4

15 = 3 x 5

Ces deux nombres sont divisibles chacun par 3.

Ils ne sont pas premiers entre eux.

12 = 2 x 2 x 3

35 = 5 x 7

Ces deux nombres n'ont aucun diviseur commun.

Ils sont premiers entre eux.

NB:

Deux nombres dont l'un est premier sont toujours premiers entre eux

12 = 2 x 2 x 3

13 = 1 x 13

sont premiers entre eux.

UN PREMIER FACE AUX AUTRES
Un nombre premier "trône" au-dessus de tous ses inférieurs. Car aucun nombre inférieur ne le divise! Comparé à lui, tous ses inférieurs forment une paire de nombres premiers entre eux (le 1 est considéré comme banal est n'est pas pris en compte).	7 = 1 x 7	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3
Que se passe-t-il avec un nombre non premier, un nombre composé ? Avec le nombre 6, seule la paire (5, 6) forme un couple de nombres premiers entre eux. On y ajoute la paire triviale (1,1).	6 = 2 x 3	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5
Exemple avec 12 Ce nombre 12 possède beaucoup de similitudes avec les nombres qui lui sont inférieurs. Comptons la quantité de paires de nombres premiers entre eux: Il y en a 4. Cette quantité est baptisée indicateur d'Euler du nombre 12. Il est symbolisé par la lettre grecque Phi (j) j (12) = 4	12 = 2 x 2 x 3	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3 7 = 1 x 7 8 = 2 x 2 x 2 9 = 3 x 3 10 = 2 x 5 11 = 1 x 11

Illustration

LES PREMIÈRES VALEURS
Nombre n et son indicatrice d'Euler (n)	Factorisation de n	Cas où les nombres inférieurs sont premiers avec n
Nombre 1 (1) = 1	1 = 1 x 1	On pose (1) = 1
Nombre 2 (premier) (2) = 1	2 = 1 x 2	1 = 1 x 1
Nombre 3 (premier) (3) = 2	3 = 1 x 3	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2
Nombre 4 (4) = 2	4 = 2 x 2	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3
Nombre 5 (premier) (5) = 4	5 = 1 x 5	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2
Nombre 6 (6) = 2	6 = 2 x 3	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5
Nombre 7 (premier) (7) = 6	7 = 1 x 7	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 x 2 x 3
Nombre 8 (8) = 4	8 = 2 x 2 x 2	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3 7 = 1 x 7
Nombre 9 (9) = 6	9 = 3 x 3	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3 7 = 1 x 7 8 = 2 x 2 x 2
Nombre 10 (10) = 4 NB Toutes les valeurs de l'indicateur d'Euler sont paires (sauf au démarrage). C'est toujours vrai!	10 = 2 x 5	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3 7 = 1 x 7 8 = 2 x 2 x 2 9 = 3 x 3
Nombre 11 (premier) (11) = 10 NB Un nombre premier étant premier avec tous ses inférieurs; l'indicateur d'Euler d'un nombre premier est égal à lui-même moins un. Et c'est le seul cas où (n) = n – 1.	11 = 1 x 11	1 = 1 x 1 2 = 1 x 2 3 = 1 x 3 4 = 2 x 2 5 = 1 x 5 6 = 2 x 3 7 = 1 x 7 8 = 2 x 2 x 2 9 = 3 x 3 10 = 2 x 5

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