NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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PUISSANCE & RACINES

 

Débutants

Général

RACINES CONTINUES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racines carrées

 

Analyse

 

Puissance

 

Racine

Racine continue

Nombre d'or

Tous les nombres

Zéro

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec 2

>>> FORMULE pour tous les nombres

>>> FORMULE INVERSE

>>> Autres fraction – Exemple pour 3

 

 

 

 

RACINES CONTINUES

 

On peut écrire les nombres entiers sous la forme d'une suite de radicaux imbriqués sans fin.

 

Anglais: Nested radical / Nested square roots / Continued roots / Continued radical

 

Radicaux imbriqués

Simplifier une expression avec radicaux imbriqués est généralement un problème difficile.

Certains cas (rares) sont néanmoins calculables, comme:

 

Simplifier:

Tout sous le second radical:

Possible que si cette quantité est un carré (sa racine est rationnelle):

Relation simplifiée:

Simplification:

Voir Racines continues / Radical

 

 

 

Approche avec 2

Racine continue de 2

 

 

Convergence

Après 12 itérations:

Écart = 0, 000 000 261

 

Calculs successifs

1, 414 

1, 847 

1, 961  

1, 990  

1, 997  

1, 99939  

1, 99984  

1, 99996 

1, 9999905 

1, 9999976

1, 9999989  

1, 999999739

Voir Résolution par équation

 

 

RACINE CONTINUE pour tous les nombres

Formule générale

Démonstration

Ajoutons n de chaque côté

Prenons la racine carrée de chaque côté

Or, la partie de droite est notre expression d'origine

Passons au carré

 

Et la valeur du nombre n sous le radical est donnée par cette relation:

Voir Nombre pronique

 

Application

 

N

n

Racines continues

2

1 x 2

3

2 x 3

4

3 x 4

Notation abrégée

5 = rc en 4 x 5 = 20

6 = rc en 5 x 6 = 30

  

Théorème

 

Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue

dont la valeur sous le radical est égale à  = (N-1) N

 

 

 

FORMULE INVERSE

Je me donne le nombre sous le radical. Que vaut la racine continue ?

Résolution d'une équation de 2e degré

Quelques résultats

 

n

N1

N2

 

0

1

0

Voir Zéro

1

1, 618033989

-0, 6180339890

Voir Nombre d'or

2

2

-1

 

3

2, 302775638

-1, 302775638

 

4

2, 561552813

-1, 561552813

 

5

2, 791287848

-1, 791287848

 

6

3

-2

 

7

3, 192582404

-2, 192582404

 

8

3, 372281324

-2, 372281324

 

9

3, 541381265

-2, 541381265

 

10

3, 701562119

-2, 701562119

 

 

 

 

Autres fraction – Exemple pour 3

3 =

 

 

Les coefficients sont les entiers successifs.

4 =

 

 

Sur le même principe

 

 

Quelques trouvailles de Ramanujan

 

 

Suite

*    Fractions continues

*    Ramanujan et 1729 – Nombre Taxicab

Voir

*    Fractions continues

*    Nombres rationnels …

*    Nombres périodiques

*    Suite de Farey et calendriers

DicoNombre

*    Nombre 2

*    Nombre 3

Sites

*    Radical imbriqué – Wikipédia

*    Pi-Formulas and gray codePierluigi Vellucci and Alberto Maria Bersani

*    Nested Radical – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Racinint.htm