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Sommaire de cette page >>> Pions blancs et noirs >>> Dénombrement >>> Théorie >>> Équation

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PIONS BLANCS et NOIRS

Possibilité pour un pion d'une couleur de se retrouver toujours voisins d'un pion de même couleur.

Pions blancs et noirs

Situation de proximité Soit 4 pions blanc ou noirs disposés en cercle. Combien de possibilités telles qu'un pion blanc soit toujours à proximité d'un autre pion blanc ? Les pions peuvent être remplacés par tout autre entités duales: garçons, filles; piles et faces, cœur et carreau …. nombres binaires o et 1. Exemple Quatre pions bleus et marron Les bleus ne sont pas voisins; Les marrons le sont Note: marron adjectif est invariable

Dénombrement
Un pion Le pion seul est soit: marron, auquel cas il n'a pas de voisin de même couleur; ou bleu et dans ce cas, le pion marron n'existe pas est tenu pour avoir un voisin de même couleur (qui n'existe pas non plus.	0 + 1 = 1
Deux pions Il existe quatre configurations dont: la première avec deux pions marron voisins la dernière avec deux pions marron qui n'existent pas, donc voisins. Autrement-dit: il n'y a pas de pion marron seul.	1 + 0 + 0 + 1 = 2

Trois pions Il existe huit configurations dont celles répondant au problème de voisinage sont les suivantes: 1, 2, 5 et 8. Soit 4 cas. Il est simple de compter ces configurations en prenant les nombres binaires correspondants: 000 001 010 011 100 101 110 111 Les quatre configurations surlignées de jaune sont valides.

1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 4

Quatre pions Il existe seize (2^4) configurations. Quelles ont celles qui sont valides? Voyons cela avec la représentation binaire. Il s'agit : des huit configurations pour trois pions auxquelles est ajouté un 0 en tête: 3 cas valides. des huit configurations pour trois pions auxquelles est ajouté un 1 en tête: 4 cas valides. Total 3 + 4 = 7

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 =>3 cas Note: le 100 était valide; mais avec le 0 en tête, 0100 n'est plus valide car le 0 en tête est seul, sans 0 voisin.

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 =>4 cas Note: le 100 était valide et, il le reste avec l'ajout du 1 en tête.

Cinq pions 2^5 = 32 configurations: 12 cas valides

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 =>5 cas

01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 =>0 cas

10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 =>3 cas

11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 =>3 cas

Théorie

Décompte selon n pions

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	1	1	2	4	7	12	21	616	37	114	200	351	616

Le résultat est évidemment valable que l'on prenne les pions d'une couleur ou de l'autre. Il existe des configurations qui répondent à la fois à chacune des couleurs (ex: 00111) et d'autres qui répondent à aucune couleur (ex: 00010). 

Généralisation

P(n) = 2P(n–1) – P(n – 2) + P(n – 3)

P(n+1) / P(n) = 1,754877666247...

Équation

Ratio = 1,754 877 666 24... = Racine de x³ – 2x² + x – 1 = 0

Trois voisins

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	1	1	1	2	4	7	11	27	44	72

Ratio = 1,618 … et 0, 618 = nombre d'or et son inverse

Racines de x⁴ – 2x³ + x² – 1 = (x² - x – 1)(x² - x + 1) = 0
Cette équation a également deux racines complexes:

0, 5 + i x 0,8660254040 et 0, 5 – i x 0,8660254040.

Quatre voisins

Ratio = 1,528946355 …

Racine de x⁵ – 2x⁴ + x³ – 1

Plus quatre racines complexes

0,7362751327 + i x 0,8216467855

0,7362751327 – i x 0,8216467855

- 0,5007483100 + i x 0,5353363226

- 0,5007483100 – i x 0,5353363226

D'après The book of numbers – Conway et Guy – Copernicus – 1996 – page 205

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