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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Triangles entiers |
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Triangles ENTIERS spécifiques
Quels sont les triangles dont la longueur des
côtés est un nombre entier
? Le périmètre
est évidemment un nombre entier. D'autres éléments peuvent aussi être mesurés en
nombres entiers. Par exemple, si l'aire est un
nombre entier, le triangle est héronien. Il existe donc
plusieurs types de triangles entiers: avec aire
entière, en duo avec la même aire entière, … La figure montre un triangle entier (2, 4, 5), un
des quatre tels triangles avec un périmètre égal à 11. Le seul avec des
nombres distincts. |
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Sommaire de cette page >>> Types de triangles entiers >>> Triangles entiers >>> Quantité de triangles entiers et périmètre >>> Quantité de triangles entiers et côtés >>> Hauteurs et médianes des triangles entiers >>> Triangles entiers jusqu'à un périmètre égal à 8 >>> Programmation >>> En duo et plus >>> Triangles entiers à hauteur entière |
Débutants Glossaire |
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Entier quelconque Entier primitif |
Côtés
entiers. >>> Côtés
entiers et premiers entre eux. |
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Entier rationnel |
Cotés
rationnels, ou Rapport
rationnel entre côtés, ou Cotés
rationnels et angles en degrés rationnels. |
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Irrationnel |
Un
côté au moins est irrationnel. |
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Entier avec périmètre
imposé |
Tous
les triplets, partitions de P, satisfaisant l'inégalité triangulaire. |
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Entier médian |
Avec
médianes entières – Héronien ou non. |
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Entier auto-médian |
Les
médianes
sont dans les mêmes rapports que les côtés. |
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Équilatéral à distances
entières |
Triangle
équilatéral tel qu'il existe un point à distances entières des sommets. >>> |
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Héronien |
Triangle
entier avec une aire en nombre entier. >>> |
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Pythagore |
Triangle
rectangle entier; il est aussi héronien. La
hauteur de l'hypoténuse n'est jamais un entier. >>> |
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Héronien a progression
arithmétique, et autres |
Les
longueurs des côtés sont en progression
arithmétique. D'autres
types de triangles héroniens peuvent être investigués: angles doubles,
périmètre quatre fois un nombre premier, etc. |
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Fibonacci |
Héronien
avec des nombres de Fibonacci pour côtés. Un seul triangle de Fibonacci est
connu. >>> |
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Entiers en duo |
Deux
(ou plus) triangles entiers partageant deux côtés de mêmes longueurs. >>> |
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Spéciaux |
Angles
rationnels et côtés rationnels ou quadratiques >>> |
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L'imagination est au pouvoir … Voir Intégrer triangles
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Triangles entiers Un
triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers. Il
existe une infinité de triangles entiers en multipliant toutes les longueurs
par k. Suite Triangles entiers Triangles rationnels Un
triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres rationnels (des
fractions). Il
suffit de multiplier les longueurs par le plus petit commun multiple
des dénominateurs pour retrouver un triangle entier. |
Exemples de triangles
entiers
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Anglais: Integer triangle or integral triangle
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Existence Tout
triplet de nombres entiers est susceptible de représenter un triangle entier
dès que l'inégalité
triangulaire est satisfaite: a + b > c avec a et b les deux plus
petits côtés. Un
tel triangle est unique ou primitif, hors similitudes (k fois les côtés). |
Exemple avec un
périmètre égal à 7 Il
existe quatre possibilités d'atteindre 7 avec la somme de trois nombres
entiers: 7
= 2 + 2 + 3; 2 + 2 > 3; OUI 7
= 1 + 3 + 3; 1 + 3 > 3; OUI 7
= 1 + 2 + 4; 1 + 2 < 4; NON 7
= 1 + 1 + 5; 1 + 1 < 5; NON Seules
les deux premières satisfont l'inégalité triangulaire. Alors, il n'existe que
deux triangles entiers de périmètre 7. |
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Quantités Étant
donné un périmètre P, toutes les tripartitions (a, b, c)
de P avec a + b > c forment des triangles entiers. La
quantité de tels triangles selon le périmètre est donnée par le polynôme
générateur d'Alcuin. Le
coefficient de x7 est 2, montrant qu'il existe deux triangles
entiers de périmètre 7. La
liste montre qu'il existe huit triangles entiers pour un périmètre de 20. |
Polynôme générateur Formule
d'Alcuin (735-804)
Voir Polynôme générateur Liste: quantité de
triangles entiers pout P de 1 à 20 0,
0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 |
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Quantité selon périmètre |
Q
= Proche entier de (p² / 48) pour p pair Q
= Proche entier de ((p²+3) / 48) pour p impair |
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Triangle entiers
distincts La
même formule avec un décalage de 6 indique la quantité de triangles entiers
dont les longueurs des côtes sont des entiers distincts. Le
coefficient de x3 est 1, montrant qu'il existe un triangle entier
de périmètre 3 + 6 = 9 avec des côtés distincts (2, 3, 4). |
Condition
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Quantité selon longueur
des côtés |
C'est
la quantité de triangles entiers primitifs pour des côtés de longueur maximale d.
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Selon la longueur du
grand côté Le
côté qui mesure c étant le plus long, la quantité de triangles entiers tels
que: |
Q
= {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 …} |
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Dans le demi-cercle de
diamètre c Dans
ce cas:
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Q
= { 1,
2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 .. } |
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Les
hauteurs d'un triangle entier découpe les côtés (ou leur prolongement) en
segments de longueur rationnelle. Sur
cette figure:
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La
longueur d'une médiane est donné par:
Ce
qui veut dire que: Sur
cette figure: a = 2, b = 3 et c = 4.
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Triangles entiers jusqu'à un périmètre égal à 8
Ils
sont tous isocèles.
Suite Table des
triangles entiers (pdf)
Cas du périmètre 9
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Pour le nombre 9, trois tripartitions recevables existent, soit trois
triangles entiers de périmètre 9.
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Voir Brève 766
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Programme Maple
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But Utiliser
le polynôme générateur et en extraire les coefficients qui représentent la
quantité de triangles entiers pour un périmètre donné. Commentaires Initialisation
générale et ouverture d'une liste vide (L). Définition
du polynôme générateur. Calcul
de sa division (séries en x pour 10 termes). Extraction
des coefficients et stockage dans la
liste L. Impression
de la liste. |
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Voir Programmation – Index
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Deux
triangles qui partagent deux dimensions:
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Deux
triangles qui partagent deux dimensions:
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Deux
triangles héroniens qui partagent deux dimensions:
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Un
jeu de six triangles héroniens ayant au moins une dimension commune: En
bleu:
En
rose:
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Les
plus petits triangles quelconques avec trois côtés et une hauteur en nombres
entiers. P
est le périmètre. |
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Ces
configurations sont obtenues par recherche manuelle ou avec tableur ou avec un programme. Il
suffit de prendre x et y (segments découpés sur le côté c avec la hauteur) et de calculer a et b (autre
côtés) avec le théorème
de Pythagore. |
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Listes des plus petits triangles avec h, x,
y, c, a, c, P (en
rose les exemples vus ci-dessus) |
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8, 6, 15, 21, 10, 17,
48 9, 12, 40, 52, 15,
41, 108 12, 5, 9, 14, 13, 15,
42 12, 5, 16, 21, 13,
20, 54 12, 5, 35, 40, 13, 37, 90 12, 9, 16, 25, 15,
20, 60 12, 9, 35, 44, 15, 37, 96 12, 16, 35, 51, 20, 37, 108 15, 8, 20, 28, 17, 25, 70 15, 8, 36, 44, 17, 39, 100 15, 20, 36, 56, 25, 39, 120 16, 12, 30, 42, 20, 34, 96 16, 12, 63, 75, 20, 65, 160 16, 30, 63, 93, 34, 65, 192 18, 24, 80, 104, 30, 82, 216 20, 15, 21, 36, 25, 29, 90 20, 15, 48, 63, 25, 52, 140 20, 15, 99, 114, 25, 101, 240 20, 21, 48, 69, 29, 52, 150 20, 21, 99, 120, 29, 101, 250 20, 48, 99, 147, 52, 101, 300 |
21, 20, 28, 48, 29, 35, 112 21, 20, 72, 92, 29, 75, 196 21, 28, 72, 100, 35, 75, 210 24, 7, 10, 17, 25, 26, 68 24, 7, 18, 25, 25, 30, 80 24, 7, 32, 39, 25, 40, 104 24, 7, 45, 52, 25, 51, 128 24, 7, 70, 77, 25, 74, 176 24, 10, 18, 28, 26, 30, 84 24, 10, 32, 42, 26, 40, 108 24, 10, 45, 55, 26, 51, 132 24, 10, 70, 80, 26, 74, 180 24, 18, 32, 50, 30, 40, 120 24, 18, 45, 63, 30, 51, 144 24, 18, 70, 88, 30, 74, 192 24, 32, 45, 77, 40, 51, 168 24, 32, 70, 102, 40, 74, 216 24, 45, 70, 115, 51, 74, 240 28, 21, 45, 66, 35, 53, 154 28, 21, 96, 117, 35, 100, 252 28, 45, 96, 141, 53, 100, 294 |
30, 16, 40, 56, 34, 50, 140 30, 16, 72, 88, 34, 78, 200 30, 40, 72, 112, 50, 78, 240 32, 24, 60, 84, 40, 68, 192 33, 44, 56, 100, 55, 65, 220 35, 12, 84, 96, 37, 91, 224 36, 15, 27, 42, 39, 45, 126 36, 15, 48, 63, 39, 60, 162 36, 15, 77, 92, 39, 85, 216 36, 27, 48, 75, 45, 60, 180 36, 27, 77, 104, 45, 85, 234 36, 48, 77, 125, 60, 85, 270 39, 52, 80, 132, 65, 89, 286 40, 9, 30, 39, 41, 50, 130 40, 9, 42, 51, 41, 58, 150 40, 9, 75, 84, 41, 85, 210 40, 9, 96, 105, 41, 104, 250 40, 30, 42, 72, 50, 58, 180 40, 30, 75, 105, 50, 85, 240 40, 30, 96, 126, 50, 104, 280 40, 42, 75, 117, 58, 85, 260 |
40, 42, 96, 138, 58, 104, 300 40, 75, 96, 171, 85, 104, 360 42, 40, 56, 96, 58, 70, 224 45, 24, 28, 52, 51, 53, 156 45, 24, 60, 84, 51, 75, 210 45, 28, 60, 88, 53, 75, 216 48, 14, 20, 34, 50, 52, 136 48, 14, 36, 50, 50, 60, 160 48, 14, 55, 69, 50, 73, 192 48, 14, 64, 78, 50, 80, 208 48, 14, 90, 104, 50, 102, 256 48, 20, 36, 56, 52, 60, 168 48, 20, 55, 75, 52, 73, 200 48, 20, 64, 84, 52, 80, 216 48, 20, 90, 110, 52, 102, 264 48, 36, 55, 91, 60, 73, 224 48, 36, 64, 100, 60, 80, 240 48, 36, 90, 126, 60, 102, 288 48, 55, 64, 119, 73, 80, 272 48, 55, 90, 145, 73, 102, 320 48, 64, 90, 154, 80, 102, 336 |
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