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Édition du: 24/10/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Triangle

Géométrie

Triangles entiers

Triangles

Entiers

Pythagore

Même aire

Isiaque

Héron

Congruents

Entier équilatéral

Fibonacci

 

 

Triangles ENTIERS

 

Quels sont les triangles dont la longueur des côtés est un nombre entier.

Le périmètre est un nombre entier. Si l'aire est un nombre entier, le triangle est héronien.

 

La figure montre un triangle entier (2, 4, 5), un des quatre tels triangles avec un périmètre égal à 11. Le seul avec des nombres distincts.

 

Il existe plusieurs types de triangles entiers: avec aire entière, en duo avec la même aire entière, …

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Types de triangles entiers

>>> Triangles entiers

>>> Quantité de triangles entiers et périmètre

>>> Quantité de triangles entiers et côtés

>>> Hauteurs et médianes des triangles entiers

>>> Triangles entiers jusqu'à un périmètre égal à 8

>>> Programmation

>>> En duo et plus

 

Débutants

Triangle

 

Glossaire

Triangle

 

 

Types de triangles entiers

haut

 

Entier quelconque

Entier primitif

 

Côtés entiers. >>>

Côtés entiers et premiers entre eux.

Entier rationnel

Cotés rationnels, ou

Rapport rationnel entre côtés, ou

Cotés rationnels et angles en degrés rationnels.

Irrationnel

Un côté au moins est irrationnel.
Comme le triangle rectangle (1, 1, √2).

Entier avec périmètre imposé

Tous les triplets, partitions de P, satisfaisant l'inégalité triangulaire.

Entier médian

Avec médianes entières – Héronien ou non.

Entier auto-médian

Les médianes sont dans les mêmes rapports que les côtés.
Ex:  (13, 17, 7)

Équilatéral à distances entières

Triangle équilatéral tel qu'il existe un point à distances entières des sommets. >>>

Héronien

Triangle entier avec une aire en nombre entier. >>>

Pythagore

Triangle rectangle entier; il est aussi héronien.

La hauteur de l'hypoténuse n'est jamais un entier. >>>

Héronien a progression arithmétique, et autres

Les longueurs des côtés sont en progression arithmétique.

D'autres types de triangles héroniens peuvent être investigués: angles doubles, périmètre quatre fois un nombre premier, etc.

Fibonacci

Héronien avec des nombres de Fibonacci pour côtés. Un seul triangle de Fibonacci est connu. >>>

Entiers en duo

Deux (ou plus) triangles entiers partageant deux côtés de mêmes longueurs. >>>

L'imagination est au pouvoir … Voir Intégrer triangles

 

 

Triangles ENTIERS

haut

 

Triangles entiers

Un triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers.

Il existe une infinité de triangles entiers en multipliant toutes les longueurs par k.

 

Triangle rationnels

Un triangle dont les longueurs des côtés sont des nombres rationnels (des fractions).

Il suffit de multiplier les longueurs par le plus petit commun multiple des dénominateurs pour retrouver un triangle entier.

   

 

 

Exemples de triangles entiers

 

Le triangle bleu (5, 5, 8), doublé, forme un losange de côté 5.

Le triangle vert (5, 5, 6), doublé, forme un losange de côté 5, identique au précédent.

 

Les côtés de ces triangles sont entiers et, ils ont une aire égale à 12, un nombre entier.

 

Voir Triangles entiers égaux

 

Anglais: Integer triangle or integral triangle

 

Quantité de triangles ENTIERS et périmètre

haut

 

Existence

Tout triplet de nombres entiers est susceptible de représenter un triangle entier dès que l'inégalité triangulaire est satisfaite: a + b < c avec a et b les deux plus petits côtés.

Un tel triangle est unique ou primitif, hors similitudes (k fois les côtés).

 

 

 

Exemple avec un périmètre égal  à 7

Il existe quatre possibilités d'atteindre 7 avec la somme de trois nombres entiers:

7 = 2 + 2 + 3;        2 + 2 > 3;  OUI

7 = 1 + 3 + 3;        1 + 3 > 3;  OUI

7 = 1 + 2 + 4;        1 + 2 < 4;      NON

7 = 1 + 1 + 5;        1 + 1 < 5;      NON

 

Seules les deux premières satisfont l'inégalité triangulaire. Alors, il n'existe que deux triangles entiers de périmètre 7.

 

 

Quantités

Étant donné un périmètre P, toutes les tripartitions (a, b, c) de P avec a + b > c forment des triangles entiers.

La quantité de tels triangles selon le périmètre est donnée par le polynôme générateur d'Alcuin.

Le coefficient de x7 est 2, montrant qu'il existe deux triangles entiers de périmètre 7.

 

La liste montre qu'il existe huit triangles entiers pour un périmètre de 20.

  

 

Polynôme générateur

Formule d'Alcuin (735-804)

 

 

Voir Polynôme générateur

 

Liste: quantité de triangles entiers pout P de 1 à 20

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8

  OEIS A005044

Quantité selon périmètre

 

Q = Proche entier de (p² / 48) pour p pair

Q = Proche entier de ((p²+3) / 48) pour p impair

 

 

Triangle entiers distincts

La même formule avec un décalage de 6 indique la quantité de triangles entiers dont les longueurs des côtes sont des entiers distincts.

Le coefficient de x3 est 1, montrant qu'il existe un triangle entier de périmètre 3 + 6 = 9 avec des côtés distincts (2, 3, 4).

 

 

 

Condition

 

 

Quantité de triangles ENTIERS et côtés

haut

Quantité selon longueur des côtés

 

C'est la quantité de triangles entiers primitifs pour des côtés de longueur maximale d.

 

 

Selon la longueur du grand côté

Le côté qui mesure c étant le plus long, la quantité de triangles entiers tels que:

 

 

 

 

 

Q = {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 …} 

OEIS A002620 

 

Dans le demi-cercle de diamètre c

Dans ce cas:


 

Q = { 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 .. }

OEIS A247588

 

 

Hauteurs et médianes des triangles entiers

haut

Les hauteurs d'un triangle entier découpe les côtés (ou leur prolongement) en segments de longueur rationnelle.

 

Sur cette figure:

*      0,75 = 3/4

*      0,5   = 1/2

*      1,38 = 29/21

 

La longueur d'une médiane est donné par:

Ce qui veut dire que:
Quatre fois le carré de la médiane est un entier.

 

Sur cette figure: a = 2, b = 3 et c = 4.

*      2x3² + 2x4² – 2² =  46; ma = 3,3911…

*      2x4² + 2x2² – 3² = 31; mb  = 2,7838…

*      2x2² + 2x3² – 4² = 10; mc  = 1,5811…

 

 

 

 

Triangles entiers jusqu'à un périmètre égal à 8

Ils sont tous isocèles.

Suite Table des triangles entiers (pdf)

 

 

Cas du périmètre 9

Pour le nombre 9, trois tripartitions recevables existent, soit trois triangles entiers de périmètre 9.

*      (3, 3, 3) – équilatéral,

*      (1, 4, 4) – isocèle, et

*      (2, 3, 4) – quelconque

Voir Brève 766

 

 

 

Programmation

haut

 

Programme Maple

 

 

But

Utiliser le polynôme générateur et en extraire les coefficients qui représentent la quantité de triangles entiers pour un périmètre donné.

 

Commentaires

Initialisation générale et ouverture d'une liste vide (L).

Définition du polynôme générateur.

Calcul de sa division (séries en x pour 10 termes).

Extraction des coefficients  et stockage dans la liste L.

Impression de la liste.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

En duo et plus

haut

Deux triangles qui partagent deux dimensions:

*      (15, 8, 17) – triangle rectangle héronien car son aire est égale à 60, et

*      (15, 8, 13) – triangle entier non-héronien.

Deux triangles qui partagent deux dimensions:

*      (5, 5, 5) – triangle équilatéral non-héronien, et

*      (5, 5, 8) – triangle isocèle héronien (aire = 12).

Deux triangles héroniens qui partagent deux dimensions:

*      (17, 10, 21) – Aire 84

*      (17, 10, 89) – Aire 36

Un jeu de six triangles héroniens ayant au moins une dimension commune:

En bleu:

*      (25, 17, 26) – Aire 204

*      (25, 17, 12) – Aire 90

*      (25, 17, 28) – Aire 210

En rose:

*      (25, 25, 30) – Aire 300

*      (25, 25, 14) – Aire 168

*      (25, 25, 40) – Aire 300

 

Haut de page

 

 

Retour

*      Voir Haut de page

Suite

*      Table des triangles entiers (pdf)

*      Triangles rectangles entiers – de Pythagore 

*      Triangles rectangles particuliers

*      Triangle équilatéral

*      Énigme des cruches d'huile d'Alcuin (partage)

Voir

*      Losange

*      Puzzle chinois

*      Rectangle

*      TriangleIndex

*      Types de triangles

Site

*      Integer triangle – Wikipedia

*      OEIS A005044 – Alcuin's sequence: expansion of x^3/((1-x^2)*(1-x^3)*(1-x^4))

*      OEIS A002620 Quantité de triangles entiers avec plus grand côté imposé.  

*      Alcuin's sequence – Wikipédia

*      Les propositions d'Alcuin – Récréomath – Charles-E. Jean

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TriaEnti.htm