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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Triangles entiers |
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Triangle équilatéral entier à distances internes entières Comment
trouver un point interne au triangle
équilatéral tel que les distances de ce point aux sommets soient des
nombres entiers ? Pas simple,
du moins il a fallu un peu d'astuce géométrique pour arriver à la solution:
une rotation
appropriée. |
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Sommaire de cette page >>> Triangles
ENTIERS et distances entières >>> Distances
entières à un point interne >>> Triangle
équilatéral entier et distances entières à un point interne >>> Recherche
paramétriques |
Débutants Glossaire |
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Approche Les
triangles équilatéraux de côté t, avec t un entier, sont des triangles entiers. Trop
commun! Oui, alors … On
cherche plutôt des distances entières dans le triangle équilatéral: Par
exemple: trouver un point interne (D) tel que la distance de ce point aux
sommets soient des nombres entiers. Il
existe une infinité de ces triangles, même si leur recherche est difficile. Celui
de cette figure est la plus petite solution. |
Exemple de triangle
équilatéral entier à
distances internes entières
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Héronien ? Jamais |
Pour
être héronien,
le triangle équilatéral doit avoir des côtés entiers et une aire entière. Or,
l'aire du triangle équilatéral est égale à:
Si
c est un nombre entier, l'aire est nécessairement
irrationnelle. |
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Triangle équilatéral
avec points entiers On
cherche le côté (entier ou non) d'un triangle
équilatéral dont un point interne est éloigné de 3, 4 et 5 des sommets.
En l'occurrence trois nombres
entiers. Calcul avec (3, 4, 5) Astuce! En fait, la puce à l'oreille est la
présence des trois nombres (3, 4, 5) qui font penser à un triplet de
Pythagore. On
procède à une rotation
négative (-60°) de la figure autour de B qui produit l'image du triangle en
bleu. L'angle
DBD' est égal à l'angle ABC, soit 60°. Le triangle BDD' a un angle de 60° et
deux côtés égaux (DB et D'B'), il est équilatéral et DD' = 3. Le
triangle CDD' (3, 4, 5) est un triangle de
Pythagore et l'angle CD'D est droit. Alors,
l'angle CD'B = 90 + 60 = 150°. Dans
le triangle CD'B, on applique la loi
des cosinus: Cas général avec (a, b,
c) Notez
que le triangle BDD' est toujours équilatéral (60° en B et BD = B'D' = c);
conséquence: DD' = c. Même
principe de calcul que ci-dessus, en constatant au départ que:
Formule finale (calcul
ci-dessous):
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Triangle équilatéral
avec P(3, 4, 5)
Triangle initial ABC et
rotation (A'B'C') de - 60°
Cas général
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Calcul de la formule
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Triangle
équilatéral entier et distances entières à un point interne |
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Méthode Nous
disposons d'une formule qui, à partir de trois distances entières (a, b, c)
permet de calculer le côté (t) du triangle équilatéral. Pour
trouver, des longueurs de côté en nombres entiers, une exploration
systématique par programmation est nécessaire. Premier résultats La
figure montre les deux premières solutions (7, 5, 3 donne t = 8 &
8, 5, 3 avec t = 7) Deux
cas non recevables pour cause de point D sur le périmètre et point D externe. Le
tableau indique les quelques résultats suivants. |
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Conditions sur les
distances L'exploration
est poursuivie en imposant que
La
figure montre les deux premières solutions (57, 65, 73 et t = 112 &
73, 88, 95 et t = 147 (solutions avec côté les plus petits). Le
tableau indique les quelques résultats suivants pour a, b et c jusqu'à 500. |
43,
147, 152, 185 43,
248, 285, 287 49,
285, 296, 331 57,
65, 73, 112 73,
88, 95, 147 86,
294, 304, 370 95,
312, 343, 403 97,
185, 208, 273 111,
221, 280, 331 114,
130, 146, 224 127,
168, 205, 283 129,
441, 456, 555 146,
176, 190, 294 147,
377, 437, 520 152,
343, 387, 485 152,
365, 497, 507 171,
195, 219, 336 194,
370, 416, 546 219,
264, 285, 441 228,
260, 292, 448 247,
408, 485, 637 254,
336, 410, 566 255,
343, 473, 592 285,
325, 365, 560 285,
464, 469, 691 292,
352, 380, 588 296,
315, 361, 559 323,
392, 407, 645 342,
390, 438, 672 365,
440, 475, 735 |
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Voir Brève 840
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Méthode En
1999, Arnfried Kemnitz a trouvé une solution paramétrique produisant une
infinité de solutions (mais pas toutes). On
se donne les paramètres u et v (u > v) et on calcule: m = 2(u² – v²) n
= u² + 4uv + v² a
= m² + n² b
= m² – mn + n² c
= m² + mn + n² On note que a
= (b + c) / 2 t
= 8(u² – v²) (u² + uv + v²) (a, b, c) sont les longueurs (verts) (t) est la longueur du côté du triangle
équilatéral |
205, 127, 283, 168 740, 388, 1092, 832 1469, 1099, 1839, 760 1989, 999, 2979, 2520 3280, 2032, 4528, 2688 5525, 4503, 6547, 2072 4420, 2212, 6628, 5952 6525, 3627, 9423, 6552 9860, 6852, 12868, 6272 14965, 12787, 17143, 4392 |
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