Equations de Navier-Stokes

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Équations de Navier-Stokes

Équations de la mécanique des fluides (hydrodynamique). Elles modélisent les mouvements turbulents (tourbillonnaires) comme le comportement des océans, de l'atmosphère ou alors l'écoulement d'un fluide (air, eau) autour d'un véhicule (automobile, avion, bateau, sous-marin …).

Navier-Stokes – Problème résolu

Problème résolu en 2014 (non encore validé) par Mukhtarbay Otelbayev, un mathématicien kazakh de l’Eurasian National University à Astana, au Kazakhstan. Ce fut le travail de sa vie sur plus de trente ans.

Ce serait la solution au problème de savoir si la résolution des équations de Navier-Stokes était toujours un "problème bien posé" au sens du mathématicien français Jacques Hadamard (1865-1963) ou … plus simplement si la solution est unique pour des conditions données.

Est-ce que la solution est unique selon des conditions initiales données.

OUPS! Le problème reste OUVERT.
Ce mathématicien proposait une preuve de la régularité des solutions des équations de Navier-Stokes. Or, depuis (avril 2014), un contre-exemple a été trouvé à un résultat intermédiaire de sa démonstration. Un autre scientifique, Terence Tao, aurait montré que certaines de ces équations n'auraient pas toujours des solutions régulières.

Voir suite en Historique / Les sept problèmes du millénaire

Équations de Navier-Stokes

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Utilisées en hydrodynamique.

Elles décrivent l’évolution dans le temps et dans l’espace du champ de vecteur vitesse des fluides "newtoniens" considérés comme continus et incompressibles.

Résolution quasi-impossible sauf par approximations.

Impossible, de ce fait, de savoir si de faibles modifications des conditions initiales pourraient changer complètement la solution.

D'ailleurs les ingénieurs recourent en dernier ressort aux simulations numériques ou en essais en soufflerie ou autres (bassin d'essais hydrodynamiques).

Les équations de Navier-Stokes sont aussi importantes que les équations de Maxwell, celles d’Einstein ou celles de Schrödinger.

Applications

Météorologues: modélisation de l'atmosphère

Océanographes: description les océans

Astrophysiciens: formation des planètes dans un disque protoplanétaire.

Ingénieurs: comportement des voitures, des trains et des avions.

Une approche des équations

L'expression de ces équations est donnée ci-dessous. Ce sont des équations différentielles étudiées en enseignement supérieur.

Les paramètres sont les suivants:

un espace, généralement à trois dimensions, N = 3, dit 3D;

un point M de coordonnées x₁ , x₂ , x₃ pour un espace 3D;

un vecteur vitesse en ce point u = (u₁ , u₂ , u₃);

la pression p en ce point (un scalaire);

la densité du fluide supposée constante;

la viscosité dynamique du fluide; et

la densité massique f des forces extérieures.

Pour une exploitation scientifique se reporter aux documents spécialisés.

Pour simplifier l'écriture, les mathématiciens et les physiciens ont pris l'habitude d'utiliser des opérateurs différentiels (en bleu ci-dessus).

L'opérateur en triangle () est appelé nabla ou hamiltonien

L'opérateur en delta () le laplacien (nabla appliqué deux fois).

L'opérateur div est la divergence.

Comme la dérivée simple, les opérateurs différentiels s'intéressent aux variations du premier ordre ou du deuxième ordre autour d'un point. Quelles sont les fluctuations ("vitesses" et "accélérations") autour du point dans les trois dimensions (x, y et z).

Voir Opérateurs différentiels / Courbure / Équations de Maxwell

Conclusion: c'est dire combien la concision de ces équations cachent une complexité qui ne se dévoile que lorsque les formules sont pleinement développées.

Historique

Léonard de Vinci (1452-1519) a fait plusieurs dessins montrant les formes tourbillonnantes que peut prendre l'eau.

La mise au point du calcul différentiel par Newton et Leibniz est la base des outils mathématiques qui seront nécessaires pour formaliser les problèmes de mécanique dynamique et, pour ce qui nous intéresse ici, l'hydrodynamique.

Euler (1707-1783) s'est, lui-aussi, intéressé à la cette question.

Au XIXe siècle Les travaux de mathématiciens Navier et Stokes ont formalisé le problème en établissant leurs équations aux dérivées partielles

Henri Navier (1785-1836) est un mathématicien et ingénieur français;

George Stokes (1819-1903) est un physicien et mathématicien britannique; et

Barré de Saint-Venant (1797-1886) a aussi contribué à l'histoire avec ses équations utilisées en ingénierie hydraulique

Les équations sont de Navier en 1822. Quelques années plus tard Stokes formalise une bonne méthode pour les établir.

En 2013, Mukhtarbay Otelbayev serait parvenu à montrer que les conditions initiales auraient peu d'influence sur la solution des équations de Navier-Stokes. La solution unique et continue décrivant l’évolution d'un ne serait pas considérablement changée par de petites variations des conditions initiales. Cette nouvelle est importante. Elle veut dire que les travaux des ingénieurs basés sur l'utilisation de ces équations reposent sur des bases mathématiques solides.

Film

Mary (Gifted en anglais) – film de 2017 par Marc Webb

Mary Adler, sept ans: don pour les mathématiques. Calcul mental avec la méthode Trachtenberg.

Diane, mère de Mary: travail sur le problème de Navier-Stokes; morte alors que Mary avait six mois

Frank, son oncle: recueille Mary. Il tient à ce qu'elle ait une enfance normale.

Evelyn, la grand-mère veut obtenir la garde et la placer dans une école dédiée aux surdoués.

Bataille juridique …

En fait, Diane avait résolu le problème Navier-Stokes …

Voir Cinéma