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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Dénombrement – Suites de nombres |
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Faites un double-clic pour un retour en haut de page
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SUITES pour dénombrer Liste des principales suites et
applications Revue des principales suites de nombres qui
servent à dénombrer des objets: polygones triangulés ou décomposés,
parenthèses, chemins divers sur une grille, cordes dans le cercle … La page DÉNOMBREMENT donne
accès à toutes les pages relatives au comptage d'objets figurant sur ce site. |
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Sommaire de cette page >>> Suites principales pour dénombrer >>> Historique des principales suites pour compter
>>> Anglais |
Débutants Glossaire |
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Pascal (triangle) |
1; 1, 1;
1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1; … Coefficients du binôme. Développement d'un
binôme à la puissance k. Combinaison de n objets
pris k par k. |
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Narayana (triangle) |
1; 1, 1;
1, 3, 1; 1, 6, 6, 1; 1, 10, 20, 10, 1; … Arbres à n branches et k
feuilles. Parenthèses avec k
paires internes. Chemins obliques
comportant k sommets. |
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Catalan |
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132,
429, 1430, 4862, … Triangulation d'un
polygone à 2n côtés en dessinant des diagonales. Quantité de partitions
non-croisées dont chaque bloc Places de n paires de
parenthèses dans un mot de n+1 lettres. Quantité de chemins en
escalier contenus sous la diagonale d'une grille carré. |
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Manhattan |
1, 2, 6, 20, 0, 252,
924, 3432, … Nombres centraux du
triangle de Pascal Chemins dans une grille
selon progression nord ou est. |
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Dyck |
Nombres de Catalan. Chemins de Manhattan
sans dépasser la diagonale. |
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Bell |
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203,
877, 4140 … Partitions d'un ensemble
de n éléments. |
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Motzkin |
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51,
127, 323, 835, 2188, 5798, … Chemins obliques sur
grille pour parcourir la distance horizontale de longueur n. |
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Delannoy – Matrice |
1; 1, 3, 5…; 1, 5, 13, 25, 41; 1, 7, 25, 63, 129 …; etc. Chemin sur grille avec
progression nord, est et nord-est : chemin de (0, 0) à (n, k) avec pas (0,1),
(1,1) ou (1, 0). Pavages avec dominos
particuliers. |
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Delannoy – Nombres |
1, 3, 13, 63, 321, 1683,
8989, 48639, … |
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Schröder |
1, 2, 6, 22, 90, 394,
1806, 8558, 41586, … Chemins dans les mailles d'une grille en
progressant vers le nord, l'est ou le nord-est. |
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Schröder-Hipparque |
1, 1, 3, 11, 45, 197,
903, 4279, 20793, … Arbres plans avec n feuilles. Parenthèses insérées
dans une suite d'éléments. Façon de partager un
polygone convexe en polygones plus petits en dessinant des diagonales. |
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Octaédriques |
0, 1, 6, 19, 44, 85,
146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, … Empilement de deux
pyramides successives à base carrée. |
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Octaédriques centrés |
1, 7, 25, 63, 129, 231,
377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, 3303, 4089, … Chemins dans les mailles d'une grille en
progressant vers le nord, l'est ou le nord-est. |
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Ming Antu (v.1692-v.1763)
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Les nombres de Catalan
étaient connus par ces mathématiciens chinois. En 1730, Ming Antu, mathématicien de Mongolie, publie: Méthodes rapides
pour compter précisément les cordes des cercles. On y trouve notamment
l'utilisation des nombres
de Catalan pour développer les sinus(2a) et sinus(4a) en fonction de
sinus(a). |
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Chen Jixin - 1774 |
C'est en 1988 que le livre écrit par Ming Antu en 1730 et achevé par son élève Chen Jixin en 1774
est révélé dans une revue chinoise. En 1999, P. J. Larcombe
montre que Ming Antu utilisait les nombres de
Catalan pour développer les sinus multiples. |
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Fibonacci (v.1170-v.1250) |
En 1202, les nombres de
Fibonacci sont décrits dans le livre Liber abaci.
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Leonhard Euler - 1760
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Euler découvre les nombres
de Catalan en répondant à question suivante: combien de façons de découper un polygone convexe en triangles en
dessinant des diagonales qui ne se coupent pas ? Il les compte à la main
jusqu'à C8 = 1430, un exploit ! Après les travaux de Segner, il
calcule jusqu'à C22. Trouve la formule pour
les dénombrer en disant que la formulation de la récurrence est difficile. Par lettres, il
questionne Christian Golbach en 1751 puis Segner en 1758, lequel trouve la
réponse. |
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Nicolas Fuss (1755-1826)
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Connu pour être
l'assistant d'Euler de 1772 à 1783 (marié à la fille d'Euler). Nombres de Fuss-Catalan: une
généralisation des nombres de Catalan. En 1793, Johann Pfaff
interroge Fuss: sait-on dénombrer la décomposition d'un polygone en polygones
plus petits ? Un mois plus tard, Fuss publiait un papier sur ce sujet
introduisant les nombres e Fuss. De nombreux
mathématiciens ont apporté leurs contributions: Liouville, Cayley, et en 1998
Jozef Przytycki et Adam Sikora. |
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Johann Andreas von Segner (1704-1777)
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Mathématicien hongrois,
il découvre les nombres de Catalan simultanément avec Euler(1758), lui aussi
en comptant les triangles découpés dans le polygone convexe. Trouve la formule
récurrente: |
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Gabriel Lamé (1795-1870) |
En 1838, publie la
preuve complète concernant la triangulation des polygones (first self-contained,
complet proof). |
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Olry
Terquem, Joseph Liouville, Olinde Rodrigues, Gabriel Lamé, Eugène Catalan,
Jacques Binet, Johanna Grunert, Thomas
Kirkman et Édouard Lucas |
Travaux sur les nombres
de Catalan. |
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Thomas Kirkman |
Redécouvre la formule du
nombre de triangulation du polygone. En fait: k diagonales non concourantes
dans un polygone convexe. |
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Eugène Catalan
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Catalan était un
étudiant de Liouville à Polytechnique, lequel s'interrogeait sur les travaux
d'Euler-Golbach et Segner. En 1838, Catalan résout
ce nouveau problème: étant donné une suite fixe de lettres, on veut ajouter n
– 1 paires de parenthèses
de façon qu'entre chaque couple de parenthèses gauche et droite il y ait deux
lettres. Il relie de résultat à la
triangulation. Sa formule
(conjecture):
Il observe que:
L'idée lui vient après
exploration du casse-tête de la tour de Hanoï. Il appelait ces entiers,
les nombres de Segner. L'appellation nombres de Catalan a été
donnée en 1948 par John Riordan (1903-1988). En 1878, il publie Sur les nombres de Segner qui traite
de la divisibilité des nombres de Catalan. Plusieurs centaines de
publications ont depuis lors été consacrées aux nombres de Catalan. |
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Arthur Cayley (1821-1895)
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Mathématicien clé qui a
interprété les nombres de Catalan en utilisant la notion d'arbre binaire. En 1857, prouve que les
nombres de Catalan représentent la quantité d'arbres
dans le plan avec troncs et à trois feuilles. Publication en 1859. Sa formule:
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William Whitworth (1840-1905) |
En 1878, il introduit le
problème du vote. Il le résout et trouve des
applications en combinatoire. Ce problème sera repris
par Joseph Bertrand (1822-1900) qi le redécouvre en 1887 et, ce qui constitue
un des premiers résultat en théorie des probabilités. |
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Désiré André (1840-1917) |
Trouve une méthode pour
compter les chemins de Dyck (1887). Donne la solution du problème du vote (ballot problem). |
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Delannoy (1833-1915 |
Nombres
de Delannoy. |
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Schröder (1841-1902) |
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Édouard Lucas (1842-1891) |
Cite les nombres d
Catalan dans son ouvrage: Théorie des
Nombres qui, en fait, fait une part belle à la combinatoire. |
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Walter Dyck (1856-1934)
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Étudie les chemins de Dyck, chemin en escalier en dessous de la
diagonale. Exemple
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Eugen Netto (1848-1919) |
En 1901, première
introduction classique à la combinatoire. |
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Motzkin (1908-1970) |
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L. Collatz
(1910-1990) U. Sinogowitz |
Collatz publie la
Théorie spectrale des graphes (1957): étude des valeurs propres des matrices
représentant un graphe. Application en chimie quantique. Collatz nomme Sinogowitz comme co-auteur, lequel sera victime du
bombardement de Darmstadt en 1944. |
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Dov Tamari (1911-2006) |
Experte en logique
mathématique et combinatoire. |
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Narayana (1930-1987) |
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H. G. Forder – 1961 |
Établit une relation
biunivoque entre la triangulation des polygones et
les expressions avec parenthèses. |
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William Brown – 1965 |
Travail de synthèse sur
les nombre de Catalan- Segner-Fuss. |
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Henry W. Gould – 1971 (né en 1928) |
Publie: Bibliography of Bell and Catalan Numbers Décrit 243 cas
d'utilisation des nombres de Catalan. Il en publie 450 en 1976
et énonce 465 références. |
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Kreweras et
Poupard |
Ils étudient les partitions non-croisées et
les nombres de Narayana. Revue historique de ces
suites. |
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Richard P. Stanley
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En 1986 et
en 1999, il publie Enumerative Combinatorics.
Il demande notamment au lecteur de prouver l'équivalence de 66 définitions
des nombres de Catalan. En 2015, il
publie: Catalan Numbers. Il déclare: Je dois dire que ma séquence de nombres préférée
est celle des nombres de Catalan. [..] Ils sont omniprésents. On savait avant
moi qu'il y avait de nombreuses
interprétations combinatoires différentes. [..] Quand j'ai commencé à enseigner la combinatoire
énumérative, j'ai bien sûr abordé les nombres de Catalan. Alors, j'ai
commencé par proposer des interprétations très basiques - n'importe quel
cours de combinatoire en aurait quelques unes -
J'aimais en trouver de plus en plus et j'ai décidé d'être méthodique. Au début, c'était juste une liste
dactylographiée. Quand j'ai écrit le livre, j'ai jeté tout ce que je savais
dans le livre. Puis, j'ai continué à partir de là avec un site web, ajoutant
de plus en plus de problèmes. |
Voir Chronologie des
mathématiciens
|
Lattice path: chemin passant par les points d'une grille. Les
coordonnées successives des points définissent une suite de vecteurs, de
couples de nombres. Before
to tackle the question of Delannoy
numbers and Delannoy lattice paths, note that the classical number sequences
or lattice paths have the name of a
mathematician:
It
is quite amusing that some of them are nowadays more famous in combinatorics
for problems which can be explained in terms of lattice paths than in their
original field. Delannoy
is another famous name which is associated to an integer sequence related to
lattice paths enumeration. Delannoy’s numbers indeed correspond to the
sequence Source:
Why Delannoy Numbers ?
Cyril Banderier and Sylviane Schwer |
Voir Anglais indispensable pour le bac et pour les
affaires
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