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Édition du: 22/12/2022

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Brèves de Maths

 

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Histoire des maths – Antiquité

Introduction

Duplication du cube

Trisection de l'angle

Segment de parabole

Quadrature du cercle

Heptagone

Historique de la quadrature

Exemples de quadratures

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

QUADRATURE DU CERCLE

 Exemples de constructions

 

Les Anciens ont cherché à dessiner à la règle et au compas un carré qui aurait la même aire que le cercle (disque). Ils n'arrivaient qu'à des solutions approchées sans trouver la bonne. En 1882, Lindemann trouve le fin mot: la constante Pi est transcendante (décimales diverses sans fin) et la construction est impossible.

L'aire de la lunule (ou lune) d'Hippocrate est rigoureusement égale à celle d'un triangle (bleu = vert). Une telle propriété a longtemps fait penser que la quadrature du cercle était réalisable.

En 2019, Hung Viet Chu donne une construction correcte à neuf décimales.

     

 

Sommaire de cette page

>>> Construction pratique des Égyptiens

>>> Constat d'Archimède

>>> Construction pratique du jardinier

>>> Construction simple

>>> Pi approché par Hobbes

>>> Construction de Kochanski

>>> Construction de Jacob de Gelder

>>> Construction d'Hobson

>>> Construction de Dickson

  

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais:  it is impossible to square the circle by compass and straightedge

 

 

Construction pratique des Égyptiens

haut

 

Construction

Cercle de diamètre 9 et

Carré de côté 8.

 

Aires

Carré: 8 × 8 = 64

Disque: π × 4,5² = 63,6172…

Écart: 0,6%

 

Calcul de p = Pi approximé


 

 

 

Constat d'Archimède

haut

 

Construction

Cercle de rayon unité.

Triangle rectangle (R, P) avec R le rayon du cercle et P son périmètre.

 

Aires

Disque : π R²

Triangle: ½ P · R = π R²

 

Archimède constate cette égalité des aires dans son traité: De la mesure du cercle.

 

 

 

Pour rectifier le cercle en un triangle rectangle, il "suffit" de savoir tracer la longueur du périmètre du cercle (autrement-dit, une longueur Pi).

 

 

Construction pratique du jardinier

haut

 

Méthode

Utilisation d'une corde et d'un piquet.

 

Construction

Dessiner le cercle bleu façon jardinier.

Avec la corde enroulée sur le demi-cercle reporter cette longueur en DG.

Avec la corde de longueur GB, la plier en deux pour trouver K, le milieu de GB.

Cercle (K, AB).

Perpendiculaire DF; intersection en H.

HD est le côté du carré.

  

 

Construction simple – La brouette

haut

Une construction simple, sans respecter la contrainte règle et compas (semblable à la précédente).

 

Construction

Cercle de rayon  OA  = 1.

Prolonger OA tel que AB = Pi .

Milieu O' de AB.

Cercle (O', O'O).

Perpendiculaire AC en A à AB.

Carré de côté AC.

 

Alors l'aire du disque vaut Pi et celle du carré également.

Calculs

Triangle OCB

Inscrit dans un demi-cercle:

il est rectangle.

Hauteur AC

AC² = OA · AB = π

Côté du carré

Aire du carré

ACarré = π

Aire du disque

ADisque = πr² = π

 

 

Voir Brève 858

 

 

 

Pi approché par Hobbes

haut

 

Construction de Thomas Hobbes (1588-1679)

*      Un cercle de diamètre unité.

*      le diamètre AB est divisé en 5.

*      H est le point situé au 3/5 de AB.

*      HC est la perpendiculaire en H à AB.

*      HC mesure 6/5.

*      Hobbes affirme que le périmètre du triangle
                  est égal à
.

 

 

Conclusion

Hobbes a trouvé une solution astucieuse pour approcher à 1 pour 100 000

Nous savons aujourd'hui qu'il est impossible de construire rigoureusement .

 

Calculs

AH

HC

AH + HC

= 3/5

= 6/5

= 9/5

AC²

= AH² + HC²

= (3/5)² + (6/5)²

= (9 + 36) / 25

= 45 / 25

= 9 / 5

P = AH+HC+AC

= 9 / 5 +  (9 / 5)

= 1,8 + 1,8

= 3,141 64 …

  

 

Figure

Cercle et triangle: périmètres voisins

 

 

Comparaison

P = 3,141

640786

 = 3,141

592654

Écart = 0,000

048132

Pourcentage

0,0015%

1,5 pour 100 000

 

 

Note

Ramanujan a aussi retrouvé cette approximation de .

 

 

 

 

Construction de Kochanski (1685)

haut

 

Principe

Approximation de Pi avec quatre décimales correctes par:

Une prouesse pour l'époque.

 

Construction de "Pi"

Cercle unité en bleu.

Diamètre orthogonaux: BD, CE.

Tangente en E

Cercle (D, 1); intersections F et G.

Cercles (G, 1), (H, 1) et (I, 1): intersection J.

La longueur de CJ est proche de Pi.

 

Calculs

 

Construction du carré

Perpendiculaires en C et J à CJ.

Cercle (J, 1) et (L, 1).

Intersections L et K.

Demi-cercle LK.

Perpendiculaire en M à KL.

Intersection N.

LN est le côté du carré.

Voir Construction de Kochanski – Autre présentation

 

 

 

Construction de Jacob de Gelder (1849)

haut

 

Principe

Approximation de Pi avec six décimales correctes par:

 

Construction de "Pi"

Cercle  bleu de rayon unité.

CE = 7/8  Segment AE.

AF = 1/2

FG // CD    et   FH // EG

AJ = 3

JK = AH


 

Construction du carré

Demi-cercle  AK, intersection M

BM est le côté du carré.

 

Calculs

 

 

 

Construction d'Hobson (1913)

haut

 

Principe

Approximation de Pi avec trois décimales correctes par:

Avantage d'une extrême simplicité.

 

Construction du carré

Cercle bleu de rayon unité

OD = 3/5,   OE = 1/2   et OF  = 3/2

Demi-cercle (DE) et (AF)

Intersections G et H

GH est le côté du carré.

Calculs

 

 

 

Construction de Dickson

haut

Principe

Approximation de Pi avec trois décimales correctes par:

 

Construction

AB = 1

AD = 1 perpendiculaire à AB.

Cercle (A, AB), le cercle de référence.

C le milieu de AD.

Cercle (C, CB), intersection E.

Cercle (D, DE), intersection F.

FH = 1

GF = 3/10 de AF.

Cercle de diamètre HG.

FI perpendiculaire à GH.

IK = FI; FK est le côté du carré.

 

 

Calculs

 

Hùng Viêt Chu propose une simplification de cette méthode et décrit une méthode produisant 9 décimales correctes.

 

 

 

 

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·       Squaring the circle – Wikipedia

·       Squaring the circle – Ramanujan – Journal of the Indian Mathematical Society

·       Squaring the circle in one minute – Hùng Viêt Chu – 2019

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/QuadrCer.htm