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Sommaire de cette page

>>> Ovale de Cassini

>>> Ovale de Descartes

>>> Équation

>>> Programmation sans radicaux

>>> Programmation avec radicaux

 

 

 

 

 

COURBES OVALES particulières

Cassini et Descartes

 

Ellipses et ovales, particularités, équation et allure du graphe

Avec calcul complet de l'équation et programmation pour l'ovale cartésien.

 

 

 

 

Ovale de Cassini

 

Ovale de Cassini: lieu des points tels que le produit FM.FM' est constant.

 

Avec FM.FM' = a²

      et FF' = 2e,

l'équation s'écrit:

 

(x² + y²)² – 2e² (x² – y²) – a4 + e4 = 0

 

Illustration (en bas) avec e = 6 et

Rouge: a = 8,5  (externe)

Bleue:  a = 8

Rouge: a = 6

Bleue:  a = 4

 

Allure selon a comparé à e

 

 

 

 

 

Ovale cartésien

Ovale de Descartes ou cartésien: lieu des points tels que la somme FM +k.FM' est constante. Le nombre k est rationnel.

 

Avec FM + k.FM' = u  k.v = a

      et FF' = 2e,

 

Équation

 

Illustration

k = 2

e = 5

a = 20

 

Équation

          

 

Quelques valeurs (et leurs opposées en y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul de l'équation

sans radicaux

Les coordonnées du point M sont: x et y qui doivent être exprimées en fonction de a et e.

Théorème de Pythagore dans les triangles rectangles FMP et F'MP.

u² = (e + x)² + y²

v² = (e – x)² + y²

À noter

u² – v² = 4ex     

u² + v² = 2(x² + y² + e²)

Rien à tirer de plus; il faut malheureusement passer par u + kv = a,  avec des racines carrés.

Il faudra élever au carré pour éliminer les radicaux, avec les artefacts (solutions en plus) inhérentes à cette opération.

Notre relation à maintenir ente u et v:

u + k.v = a

Au carré

(Identité remarquable)

En isolant le radical à droite

À nouveau au carré

 

Programmation avec Maple de la formule SANS RADICAUX (avec élévations au carré)

(explications supposant un minimum de connaissance de Maple)

Pour calcul des valeurs et surtout exécuter le graphe.

Ce programme comporte quelques précautions pas évidentes a priori.

 

 

 

 

 

 

Programme – Commentaire

A est le premier membre de la formule; B est le second; chacun avant leur mise au carré.

Justement B comporte le radical sous la forme surd et non root

Chaque expression est développée (expand) et ordonnée en x et en y (collect). Simple vérification des formules (voir affichage).

Passage à une application numérique avec affichage des formules A et B.

Tracé du graphe en x et y (implicitplot) avec le package (plots).

La fonction tracée ici est A² = B²pour respecter la formule trouvée sans radical. On aurait tout aussi bien pu prendre A = B.

Spécification d'une précision à 5 000 points (200 par défaut).

 

Calcul  de y, u et v à partir d'un valeur de x à préciser ici.

Résolution de l'équation en y et affichage des 2 à 4 racines possibles.

Choix de la racine (ici, la 2e) et calcul de u et v. Affichage de toutes ces valeurs.

Le choix de la racine se portera sur celle qui donne u + 2v = a = 20, les autres étant des artefacts (résultats imaginaires) dus aux élévations au carré.

Affichage des formules

 

Formule A.

Son développement ordonné.

 

Formule B.

Le développement ordonné de B².

 

Formule A avec instanciation numérique.

Idem pour B.

 

 

 

Tracé du graphe

 

Deux parties:

 

Au centre, le petit ovale, le graphe vu plus haut.

 

En périphèrie, une solution également valable, créée du fait de la mise au carré. Elle résulte de valeurs imaginaires en Y. Par contre, les valeurs de u et v sont bien réelles.

 

Les deux foyers sont bien en y = 0 et x = -5 et 5. La somme u + 2v est égale à 20 pour tous les points des courbes en rouge.

 

Affichage des valeurs pour x = 0

Deux ordonnées y  en -4,43 et 4, 43 (courbe centrale et y = -19,4 et 19,4 pour la courbe externe.

Exemple de calcul avec x = 0 et y = 4,409… de u et v chacun valant 6, 66… et, le triple valant bien a =  20. 

 

Programmation avec Maple de la formule primitive AVEC RADICAUX

Voir les explications >>>

Programme – Commentaire

 

 

Introduction des valeurs numériques.

La formule directe avec les radicaux (surd).

Affichage de la formule instanciée avec les valeurs numériques.

Package plots et tracé avec implicitplot.

 

 

 

Avec x de -5 à + 8, calcul numérique de y; u et v; puis, impression de ces valeurs

 

 

 

Formule instanciée

 

 

 

 

 

 

 

Ovale de Descartes PUR: la courbe centrale du graphe précédent, sans la courbe externe obtenue en passant par des valeurs intermédiaires complexes.

 

 

 

 

 

 

Affichage des valeurs numériques. Dan l'ordre sur chaque ligne

x, puis un des valeurs de y (la seconde donnée par solve)

Suivis des valeurs de u et v avec précision de trois chiffres seulement.

Enfin la valeur de u + 2v qui doit valoir a = 20.

 

 

Bilan

Grande prudence avec les formulations avec radicaux

Avec un outil mathématique, se contenter de la solution directe même avec des radicaux. >>>

La solution éliminant les radicaux nécessite au moins une élévation au carré qui introduit des artéfacts. Certains prolongent la solution via les nombres complexes; d'autres sont à rejeter. >>>

Prudence informatique

Pour le calcul de la racine carrée: emploi de l'instruction surd et non sqrt ou encore de la puissance ½ >>>

Pour le tracé, l'instruction plot trace y = f(x), alors qu'implicitplot permet le tracé de fonction en x et en y.

Pour obtenir de belles courbes, précisez la quantité de points à calculer avec numpoints.

La résolution d'équations avec solve produit toutes les solutions, réelles ou complexes.

Voir Racines / Racines carrées / Programmation

 

 

 

 

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