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TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (3/3) Théorème de Viviani et applications Propriétés
générales en première partie. Propriétés
spécifiques en deuxième partie. Théorème de
Viviani en troisième partie. |
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Théorème Dans un triangle
équilatéral, la somme
des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la
longueur de la hauteur. PMA+
PMB + PMC = CH = AB Démonstration Somme des aires
de triangles: AABC =AAPB
+ ABPC + ACPA ½ (a.h)
= ½ (a.h1 + a.h2 + a.h3) h = h1 + h2
+ h3 Note: propriété
évidente pour P en C, A ou B. |
Propriété remarquable qui se démontre très simplement avec le calcul
des aires. |
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Généralisation Théorème Dans un polygone régulier,
la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés, est
constante; c'est celle obtenue en plaçant le point au centre du cercle inscrit. Cette somme vaut n fois
la longueur de l'apothème
(= rayon du cercle inscrit). Exemple pour l'hexagone (figure): la longueur totale des six traits bleus issus
de P est égale à la somme des longueurs de six rayons rouges du cercle
inscrit (O). Note: chacun des
six traits bleus, perpendiculaire au côté, représente la
distance du point P au côté correspondant. Carré: la somme des
longueurs, de manière évidente, est égale à deux fois la longueur du côté. Parallélogramme: la propriété
est valable pour les parallélogrammes
et tous les polygones à nombre pair de côtés, parallèles deux à deux. |
Cas de l'hexagone
En termes de longueurs: somme bleue = somme
rouge pour tout point P
interne à l'hexagone. Propriété évidente pour le carré
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But Construire le triangle
équilatéral connaissant les distances d'un point aux trois côtés. Exemple Dans le triangle
équilatéral le point interne se situe à 2, 3 et 4 cm des côtés. Quelle est la longueur L
du côté et la valeur de x permettant la construction de la figure ? Construction Tracer un triangle
équilatéral ABC de côté L. Porter la longueur x sur un côté (AP), puis
tracer la perpendiculaire de 3 cm en P à AB. Du point M,
perpendiculaires en M aux deux autres côté (Q et R). Avec L et x déterminés,
alors MQ = 2 et MR = 4. Calcul de L et de x Les triangles rectangles
comme AMP et AMQ permettent d'établir six équations pour six inconnues. Sont connus: MP = 3, MQ
= 2 et MR = 4; mais aussi la hauteur (théorème de Viviani) égale à 9 cm.
Alors, le côté
du triangle s'en déduit:
Pour information
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Figure et notations
Équations (Théorème de
Pythagore)
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Résolution avec logiciel de calcul (Maple)
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Illustration de la solution (GeoGebra)
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