NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/11/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Identité revue >>> Série infinie >>> Quotient sans effectuer la division

DIVISION des POLYNÔMES

Vous savez divisez les nombres.

Alors, vous savez diviser les polynômes !

En prime, trouvez le quotient sans diviser … >>>

Voir Bases de l'algèbre

APPROCHE

Cas simple de division par un monôme

Comment diviser 3a + 1 par a?

Posez la division comme d'habitude avec les nombres.

3a + 1	a
		Dans 3a, combien de fois a: fastoche 3 fois!

Effectuez la division.

3a + 1	a
- 3a	3	3 fois a donne 3a que je retranche
0 + 1

Dans ce cas, le reste ne contient plus de a.

La division est terminée

3a + 1	a
- 3a	3	Dans 1, combien de fois a: eh bien pas possible
1		La division est terminée

Résultat:

3a + 1 / a = 3, reste 1

Vérification:

3 x a + 1 = 3a + 1

Comment diviser 3a² + 5 a + 1 par a.

3a² + 5a + 1	a
-3a²	3a	Dans 3a², combien de fois a: c'est 3a Car 3a x a = 3a²
0 + 5a + 1		Reste 5a + 1; mieux vaut écrire tout le reste En abaissant tout le polynôme restant

Deuxième niveau de la division.

Le reste est 1 et la division est finie.

3a² + 5a + 1	a
-3a²	3a + 5	Dans 5a, il va 5 fois a
5a + 1
- 5a		On retranche ces 5a
0 + 1		Reste 1; divisons terminée

Résultat:

3a² + 5 a + 1 / a = 3a + 5, reste 1

Vérification:

3a x a + 5 x a + 1 = 3a² + 5a + 1

IDENTITÉ – Revue via la division

Divisez

a² + 2ab + b² par a + b.

a² + 2ab + b²	a + b
- (a² + ab)	a	En a², il va a fois a Il faut soustraire a (a + b) = a² + ab
0 + ab + b²

Deuxième étape.

Nous retrouvons bien l'identité remarquable classique.
Et, heureusement!

a² + 2ab + b²	a + b
- (a² + ab)	a + b	En ab, il va b fois a
0 + ab + b²
- (ab + b²)		Soustraction de b(a + b) = ab + b²
0 + 0		Reste 0; division terminée Aucun reste

Résultat:

( a² + 2ab + b² ) / ( a + b ) = a + b, reste 0

Vérification:

(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

Remarque

Pour effectuer la division d'un polynôme par un autre,
ordonnez les polynômes par degré décroissant de la même variable.

Exemple (on choisit arbitrairement x comme variable principale).
5x³ + 12x² – 3x – 10 à diviser par 2x² + x + 3
5x³y + 12x²y² – 3x – y - 10 à diviser par 2x² + xy + 3

SÉRIE INFINIE

Lançons-nous! et faisons une découverte miraculeuse

Idée!
Divisez le nombre 1
par un polynôme. Essayons avec le polynôme
P = (1 – x)²

En développant
P = 1 – 2x + x²

1	1 – 2x + x²
- (1 – 2x + x²)	1	En 1, il va 1 fois 1
0 + 2x – x²

Deuxième étape

1	1 – 2x + x²
- (1 – 2x + x²)	1 + 2x
2x – x²		En 2x, il va 2x fois 1
- (2x – 4x² + 2x^3)		Soustraction de 2x (1-2x+x²)
0 + 3x² - 2x^3		Apparaît un terme du 3^e degré

Poursuivons

1	1 – 2x + x²
- (1 – 2x + x²)	1 + 2x + 3x²	En 3x², il va 3x² fois 1
2x – x²
- (2x – 4x² + 2x^3)
0 + 3x² - 2x^3
- (3x² - 6x^3 + 3x^4)
0 + 4x^3 - 3x^4

Encore une étape, pour bien comprendre.

1	1 – 2x + x²
- (1 – 2x + x²)	1 + 2x + 3x² + 4x^3
2x – x²
- (2x – 4x² + 2x^3)
0 + 3x² - 2x^3
- (3x² - 6x^3 + 3x^4)
0 + 4x^3 - 3x^4
- (4x^3 - 8x^4 + 4x^5)
0 + 5x^4 - 4x^6

Voyez le résultat de la division: suite des nombres entiers …

Et, avec un petit brin d'imagination, une formule générale.

Formule que vous pouvez vérifier en poursuivant les calculs.

1	= 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5+ 7x^6+ …
(1 – x)²

La division engendre la suite

de tous les nombres entiers

dans l'ordre et jusqu'à l'infini

Voir Fonction génératrices des nombres

Même calcul en résumé

Quotient sans effectuer la division
Comment trouver le développement d'une fraction polynomiale sans effectuer la division ?
Polynôme générique
En multipliant
Développement sans les termes en x^3 et au-delà. En effet, le membre de gauche n'a pas de tels termes.
Égalité des coefficients
Les coefficients suivants du développement sont nuls. En reprenant leur valeur en ai , on calcule la valeur de chacun des ai .
Le développement cherché
Pour information, le développement complet en ai Notez que les coefficients ne sont complets que jusqu'à x^5. Vous remarquerez que, cependant, ils ont tous la même allure.
Calcul sans limite Maple donne directement le résultat en utilisant l'instruction series. Ici, jusqu'à la puissance 9: Le O(x^10) indique que la suite est en puissance de 10 et plus.

Voir Développements limités / Démonstrations semblables

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